题目内容
17．
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α．过点B作一直线l，在l上取点E，使AE=AC，连接CE．∠CAE的平分线交BE于点N，连接NC．（1）当α=45°时，AN、BN、CN之间的数量关系为$\sqrt{2}$AN=BN-CN
（2）当α=30°时．AN、BN、CN之间的数量关系为$\sqrt{3}$AN=BN-CN
（3）探究AN、BN、CN之间的数量关系为AN=$\frac{BN-CN}{cosα}$．（用含α的式子表示）．
分析 （1）在BN上截取BF=CN，连接AF，延长AN交CE于G，根据等腰三角形的性质得到AG垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质得到CN=NE，推出∠NCE=∠NEC，由已知条件得到∠ACE=∠AEC，等量代换得到∠ACN=∠AEN，证得∠ABF=∠ACN，推出△ABF≌△ACN，根据全等三角形的性质得到BF=CN，AF=AN，∠BAF=∠CAN，于是得到∠FAN=∠BAC，根据三角形的内角和得到∠FAN=∠BAC=90°，于是得到结论；
（2）如图2，在BN上截取BF=CN，连接AF，延长AN交CE于G，过A作AH⊥BE于H，由（1）证得∠FAN=∠BAC，根据三角形的内角和得到∠FAN=∠BAC=180°-2×30°=120°，于是得到∠AFH=∠ANH=30°，根据三角函数得到HN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AN，求得FN=$\sqrt{3}$AN，于是得到结论；
（3）由（1）证得∠FAN=∠BAC，由三角形的内角和得到∠FAN=∠BAC=180°-2α，于是得到∠AFH=∠ANH=α，根据三角函数的定义得到HN=ANcosα，于是得到FN=2ANcosα，即可得到结论．
解答 解：（1）$\sqrt{2}$AN=BN-CN，
在BN上截取BF=CN，连接AF，延长AN交CE于G，
∵AE=AC，AN平分∠CAE，
∴AG垂直平分CE，
∴CN=NE，
∴∠NCE=∠NEC，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∴∠ACN=∠AEN，
∵AB=AC=AE，
∴∠ABF=∠AEB，
∴∠ABF=∠ACN，
在△ABF与△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACN}\\{BF=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACN，
∴BF=CN，AF=AN，∠BAF=∠CAN，
∴∠FAN=∠BAC，
∵∠ABC=45°，
∴∠FAN=∠BAC=90°，
∴FN=$\sqrt{2}$AN，
∵BN-BF=BN-CN=$\sqrt{2}$AN；
即$\sqrt{2}$AN=BN-CN；
故答案为：$\sqrt{2}$AN=BN-CN；
（2）当α=30°时，
如图2，
在BN上截取BF=CN，连接AF，延长AN交CE于G，过A作AH⊥BE于H，
由（1）证得∠FAN=∠BAC，
∵α=30°，
∴∠FAN=∠BAC=180°-2×30°=120°，
∴∠AFH=∠ANH=30°，
∴HN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AN，
∴FN=$\sqrt{3}$AN，
∴$\sqrt{3}$AN=BN-CN；
故答案为：$\sqrt{3}$AN=BN-CN；
（3）由（1）证得∠FAN=∠BAC，
∴∠FAN=∠BAC=180°-2α=，
∴∠AFH=∠ANH=α，
∴HN=ANcosα，
∴FN=2ANcosα，
∴2ANcosα=BN-CN，
即AN=$\frac{BN-CN}{2cosα}$．
故答案为：AN=$\frac{BN-CN}{2cosα}$．
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A点坐标为（0，1），点B为y轴上位于A点上方的一个动点，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，连接CA，并延长CA交x轴于点E．
在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．
操作题：如图，在3×3网格中，已知线段AB、CD，以格点为端点画一条线段，使它与AB、CD组成轴对称图形．（画出所有可能）| A． | 都是非负数 | B． | 都是负数 | C． | 都是正数 | D． | 其中有一个为0 |
| A． | x2+y2 | B． | -x2-y2 | C． | x2+4xy+4y2 | D． | x2+xy+y2 |
| A． | 了解一批苹果是否甜 | |
| B． | 检测某种导弹的发射半径 | |
| C． | 调查深圳学生的“垃圾减量分类”的意识 | |
| D． | 检查“嫦娥5号”的所有零件是否合格 |