Question

5．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A点坐标为（0，1），点B为y轴上位于A点上方的一个动点，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，连接CA，并延长CA交x轴于点E．
（1）求证：OB=AC；
（2）当点B在运动时，AE的长度是否发生变化？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质得出OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，求出∠OPB=∠APC，证出△PBO≌△PCA，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）∠EAO=60゜，求出∠AEO=30゜，得出AE=2AO，求出即可；
（3）①当AQ=AE=2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的正半轴上，求得OQ=AE+AO=3，②当AQ=AE=2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的负半轴上，求得OQ=AQ-AO=1，③当EQ=AE=2时，△AEQ为等腰三角形，x轴是AQ的垂直平分线，求得OQ=AO=1，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△BPC和△AOP是等边三角形，
∴OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，
∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB，
即∠OPB=∠APC，
在△PBO和△PCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=PA}\\{∠OPB=∠APC}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△PCA （SAS），
∴OB=AC．

（2）解：当B点运动时，AE的长度不发生变化，
理由是：∵∠EAO=∠BAC=60゜，∠AOE=90°，
∴∠AEO=30゜，
∴AE=2AO=2，
即当B点运动时，AE的长度不发生变化．

（3）解：存在，
∵AE=2AO=2，
∴①当AQ=AE=2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的正半轴上，
∴OQ=AE+AO=3，
∴Q（0，3），
②当AQ=AE=2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的负半轴上，
∴OQ=AQ-AO=1，
∴Q（0，-1），
③当EQ=AE=2时，△AEQ为等腰三角形，x轴是AQ的垂直平分线，
∴OQ=AO=1，
∴Q（0，-1）．
综上所述：在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，Q（0，3），（0，-1）．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，熟练正确坐标与图形的性质是解题的关键．