Question

10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1．
（1）求$\widehat{AB}$的长；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE、OA、OF、OB，求出中心角则∠AOF=∠EOF=∠AOB=60°，得出∠BOE=180°，由弧长公式即可得出结果；
（2）连接OD，证明△DOE，△EOF是等边三角形，求出△△EOF的面积=△DOE的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，由扇形面积公式求出扇形DOF的面积的面积，即可求出阴影部分的面积．

解答 解：（1）连接OE、OA、OF、OB，如图1所示：
则∠AOF=∠EOF=∠AOB=60°，
∴∠BOE=180°，
∴$\widehat{AB}$的长=$\frac{180π×1}{180}$=π；
（2）连接OD，如图2所示：
则∠DOE=∠EOF=60°，
∵OD=OE=OF，
∴△DOE，△EOF是等边三角形，
∴△△EOF的面积=△DOE的面积=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵扇形DOF的面积=$\frac{120π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{1}{3}$π，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{3}$π-2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．