Question

5．如图，∠BAC=30°，D在∠BAC内，E、F是AB、AC上动点，当△DEF周长最小时，求∠EDF的度数．

Answer 1

分析 欲使△DEF周长最小，只需点D、E、F三点共线即可．所以根据轴对称的性质找到点E、F；然后利用对顶角的性质，等量代换以及三角形内角和定理进行解答即可．

解答 解：如图，过点D作关于直线AB对称的点M、关于直线AC对称的点N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，此时△DEF周长最小，
∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，同理∠4=∠6，
在△AEF中，∠1+∠4=180°-∠A=150°，∠3+∠6=150°，
∵∠MDE=90°-∠3，∠FDN=90°-∠6，
∴∠MDE+∠NDF=180°-（∠3+∠6）=30°，
∴∠PDQ=360°-90°-90°-30°=150°，
∴∠EDF=∠PDQ-（∠PDE-∠QDF）=150°-30°=120°．

点评 此题主要考查了轴对称最短路径问题，四边形的内角和，三角形的内角和，关键是确定E，F的位置．