Question

19．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+m与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于Q点，点B（1，6）在反比例函数的图象上，过B作BP∥x轴交直线y=$\frac{1}{2}$x+m于点P，过点P作PA∥y轴交双曲线于点A，连结AQ，BQ．
（1）点A的纵坐标为$\frac{3}{6-m}$（用含m的代数式表示）；
（2）当S_△APQ=2S_△BPQ时，m的值为3．

Answer 1

分析 （1）将B代入反比例函数即可求出k的值，由于BP∥x轴，PA∥y轴，从而可知B与P的纵坐标相同，A与P的横坐标相同，从而求出A的坐标．
（2）过点Q作QM⊥AP于M，QN⊥BP于点N，分别求出BP、QN、QM、AP的长度即可求出m的值．

解答 解：（1）将B（1，6）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{6}{x}$，
∵BP∥x轴，
∴P的纵坐标为6，
将y=6代入y=$\frac{1}{2}$x+m，
∴x=12-2m，
∵PA∥y轴，
∴A的横坐标为：12-2m，
把x=12-2m代入y=$\frac{6}{x}$，
∴y=$\frac{3}{6-m}$，

（2）过点Q作QM⊥AP于M，QN⊥BP于点N，
∵B（1，6），P（12-2m，6），A（12-2m，$\frac{3}{6-m}$），
∴BP=12-2m-1=11-2m，AP=6-$\frac{3}{6-m}$=$\frac{33-6m}{6-m}$
设Q（x，y）
∴QM=12-2m-x，QN=6-y，
∵S_△APQ=2S_△BPQ
∴AP•QM=2BP•QN，
∴代入化简可得：-$\frac{3x}{6-m}$=6-2y，
∵y=$\frac{6}{x}$，
∴把y=$\frac{6}{x}$代入-$\frac{3x}{6-m}$=6-2y，
化简可得：x²+（12-2m）x+4m-24=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}\right.$
化简可得：x²+2mx-12=0，
∴12-2m=2m，
∴m=3
故答案为：（1）$\frac{3}{6-m}$；（2）m=3

点评 本题考查一次函数与反比例函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数的解析式，然后求出B、P、A的坐标，本题属于中等题型．