Question

14．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由同弧的圆周角相等即可得出∠ACE=∠DBE，结合∠AEC=∠DEB，即可证出△AEC∽△DEB；
（2）设⊙O的半径为r，则CE=2r-2，根据垂径定理以及三角形相似的性质即可得出关于r的一元一次方程，解方程即可得出r值，此题得解．

解答 （1）证明：∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，
∴△AEC∽△DEB．
（2）解：设⊙O的半径为r，则CE=2r-2．
∵CD⊥AB，AB=8，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4．
∵△AEC∽△DEB，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{CE}{BE}$，即$\frac{4}{2}=\frac{2r-2}{4}$，
解得：r=5．

点评 本题考查了垂径定理以及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出方程是解题的关键．