Question

9．已知直线y=mx-m+4和双曲线y=$\frac{k}{x}$都经过定点C，分别与x轴，y轴交于A、B两点，则：
（1）k=4；
（2）原点O到直线AB的最大距离是$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=mx-m+4=（x-1）m+4无论m为何值恒过点C，可得点C坐标，再代入y=$\frac{k}{x}$即可得k的值；
（2）根据点到直线距离公式整理可得（d²-1）m²+8m+d²-16=0，再由△≥0，即8²-4（d²-1）（d²-16）≥0可求得d的范围，从而得出答案．

解答 解：（1）∵直线y=mx-m+4=（x-1）m+4无论m为何值恒过点C，
∴当x=1时，y=4，即点C坐标为（1，4），
将点C（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=4，
故答案为：4．

（2）∵原点O到直线AB：y=mx-m+4的距离d=$\frac{|4-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∴整理可得（d²-1）m²+8m+d²-16=0，
由△=8²-4（d²-1）（d²-16）≥0，可得0≤d²≤17，
∴0≤d≤$\sqrt{17}$，即原点O到直线AB的最大距离是$\sqrt{17}$，
故答案为：$\sqrt{17}$．

点评 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题及点到直线的距离公式，根据直线横过定点得出C的坐标及熟记距离公式是关键．