Question

19．四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒
（1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？
（2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由题意得：CP=2t，AQ=3t，则PB=6-2t，根据平行四边形的判定可得PB=AQ时，四边形ABPQ为平行四边形，因此6-2t=3t，再解即可．
（2过P作PD⊥AO，过Q作QF⊥BC，根据等腰三角形的性质可得DQ=AD=$\frac{1}{2}$QA，由题意得AQ=3t，CP=2t，则DQ=1.5t，QO=8-3t，FP=2t-（8-3t）=5t-8，根据题意可得方程5t-8=1.5t，再解即可．

解答 解：（1）如图1：由题意得：CP=2t，AQ=3t，则PB=6-2t，
当PB=AQ时，四边形ABPQ为平行四边形，
故6-2t=3t，
解得：t=$\frac{6}{5}$，
答：t为$\frac{6}{5}$四边形ABPQ为平行四边形；

（2）过P作PD⊥AO，过Q作QF⊥BC，
∵△AQP是以AQ为底边的等腰三角形，
∴DQ=AD=$\frac{1}{2}$QA，
∵AQ=3t，
∴DQ=1.5t，QO=8-3t，
∵CP=2t，
∴FP=2t-（8-3t）=5t-8，
∴5t-8=1.5t，
解得：t=$\frac{16}{7}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．