Question

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=8，sinA=$\frac{3}{5}$．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦的概念和勾股定理求出DE的值，根据角平分线的性质求出CD的长；
（2）根据相似三角形的判定和性质求出AB、BE、BC的长，根据正切的概念计算得到答案．

解答 解：（1）∵sinA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{3}{5}$，
设DE=3x，则DA=5x，
由勾股定理得，（5x）²-（3x）²=8²，
解得x=2，
∴DE=3x=6，DA=5x=10，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=6；
（2）∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴△AED∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}$$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{10}{AB}$=$\frac{8}{16}$，
解得AB=20，
则BE=AB-AE=12，
∴BC=12，
则tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．