Question

4．如图已知AB是⊙O的直径，AB=10，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，∠EAC=∠D．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得出∠BCA=90°，∠D=∠B，求出∠B+∠BAC=90°，∠EAC=∠B，推出∠EAC+∠BAC=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）连接BD，进而利用勾股定理得出AD的长．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠D=∠B，∠EAC=∠D，
∴∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠BAC=90°，
∴BA⊥AE，
∵BA过O，
∴直线AE是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，
∵∠BCD=∠DCA，
∴BD=AD，
∵AB=10，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×10=5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，能求出BA⊥AE是解此题的关键，注意：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．