Question

12．计算题：
（1）$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$；
（2）（3+$\sqrt{10}$）¹⁰⁰（3-$\sqrt{10}$）¹⁰¹；
（3）（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²-（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²；
（4）$\frac{2}{3}$$\sqrt{27{a}^{3}}$-a²$\sqrt{\frac{3}{a}}$+6a$\sqrt{\frac{a}{3}}$；
（5）$\frac{a+1+\sqrt{{a}^{2}-1}}{a+1-\sqrt{{a}^{2}-1}}$+$\frac{a+1-\sqrt{{a}^{2}-1}}{a+1+\sqrt{{a}^{2}-1}}$．

Answer 1

分析 （1）利用乘法法则，分子和分子相乘，分母和分母相乘，利用平方差公式即可求解；
（2）逆用积的乘方法则化成=[（3+$\sqrt{10}$）（3-$\sqrt{10}$）]¹⁰⁰•（3-$\sqrt{10}$）的形式，然后利用平方差公式即可求解；
（3）逆用平方差公式即可求解；
（4）首先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（5）首先分母有理化，利用同分母的分式的加法即可求解．

解答 解：（1）原式=$\frac{（1-\sqrt{2}）（1+\sqrt{2}）}{4}$=$\frac{1-2}{4}$=-$\frac{1}{4}$；
（2）原式=[（3+$\sqrt{10}$）（3-$\sqrt{10}$）]¹⁰⁰•（3-$\sqrt{10}$）=（-1）100•（3-$\sqrt{10}$）=3-$\sqrt{10}$；
（3）原式=[（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）+（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）][（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）-（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）]=2$\sqrt{a}$•2$\sqrt{b}$=4$\sqrt{ab}$；
（4）原式=2a-$\sqrt{3a}$a+2a$\sqrt{3a}$=2a+a$\sqrt{3a}$；
（5）原式=$\frac{（a+1+\sqrt{{a}^{2}-1}）^{2}+（a+1-\sqrt{{a}^{2}-1}）^{2}}{（a+1-\sqrt{{a}^{2}-1}）（a+1+\sqrt{{a}^{2}-1}）}$=$\frac{2（a+1）^{2}+2（{a}^{2}-1）}{（a+1）^{2}-（{a}^{2}-1）}$=2

点评 本题考查了二次根式的化简求值，正确掌握乘法公式是关键．