Question

6．如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，AD=$\sqrt{7}$，BD=$\sqrt{3}$，CD=2，求：
（1）AE的长；
（2）∠BDC的度数；
（3）AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到BC=AC，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，推出△BCD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理的逆定理得到∠AED=90°，求得∠AEC=150°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）过C作CP⊥DE与P，设AC与DE交于G，根据等边三角形的性质得到PE=$\frac{1}{2}$DE=1，CP=$\sqrt{3}$，得到AE=CP，根据全等三角形的性质得到AG=CG．PG=EG=$\frac{1}{2}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE=DE，
∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=$\sqrt{3}$；
（2）在△ADE中，∵AD=$\sqrt{7}$，BD=$\sqrt{3}$，DE=2，
∴DE²+AE²=AD²，
∴∠AED=90°，
∵∠DEC=60°，
∴∠AEC=150°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC=150°；
（3）过C作CP⊥DE与P，设AC与DE交于G，
∵△CDE是等边三角形，
∴PE=$\frac{1}{2}$DE=1，CP=$\sqrt{3}$，
∴AE=CP，
在△AEG与△CPG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEG=∠CPG}\\{∠AGE=∠CGP}\\{AE=CP}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CPG，
∴AG=CG．PG=EG=$\frac{1}{2}$，
∴AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴AC=2AG=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．