Question

3．如图，△ABC中，AB=BC=a（a为常数），∠B=90°，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，F是BC边上一点，DE⊥DF，过点C作CG⊥BE交DE于点G，则四边形DFCG的面积为$\frac{1}{4}$a²（用含a的代数式表示）

Answer 1

分析 连结BD，根据等腰直角三角形的性质得到BD=CD，
∠FBD=∠GCD=45°，根据等角的余角相等可得∠BDF=∠CDG，根据ASA证明△BDF≌△CDG，再根据三角形面积公式即可求解．

解答 解：连结BD，
∵△ABC中，AB=BC=a（a为常数），∠B=90°，D是AC的中点，
∴BD=CD，∠FBD=∠FCD=45°，
∵CG⊥BE，
∴∠FBD=∠GCD=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠BDF=∠CDG，
在△BDF与△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠CDG}\\{BD=CD}\\{∠FBD=∠GCD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDG，
∴四边形DFCG的面积=三角形CDF的面积+三角形CDG的面积=三角形CDF的面积+三角形BDF的面积═三角形BCD的面积=$\frac{1}{2}$×三角形ABC的面积=$\frac{1}{4}$a²．
故答案为：$\frac{1}{4}$a²．

点评 此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据ASA证明△BDF≌△CDG．