Question

如图，直线l₁⊥x轴于点（1，0），直线l₂⊥x轴于点（2，0），直线l₃⊥x轴于点（3，0），…直线l_n⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l₁，l₂，l₃…l_n分别交于点A₁，A₂，A₃，…A_n；函数y=2x的图象与直线l₁，l₂，l₃…l_n分别交于点B₁，B₂，B₃…B_n，如果△OA₁B₁的面积记作S₁，四边形A₁A₂B₂B₁的面积记作S₂，四边形A₂A₃B₃B₂的面积记作S₃…四边形A_n-1A_nB_nB_n-1的面积记作S_n，那么S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：规律型

分析：根据直线解析式求出A_n-1B_n-1，A_nB_n的值，再根据直线l_n-1与直线l_n互相平行并判断出四边形A_n-1A_nB_n B_n-1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出S_n的表达式，然后把n=2014代入表达式进行计算即可得解．

解答：解：根据题意，A_n-1B_n-1=2（n-1）-（n-1）=2n-2-n+1=n-1，
A_nB_n=2n-n=n，
∵直线l_n-1⊥x轴于点（n-1，0），直线l_n⊥x轴于点（n，0），
∴A_n-1B_n-1∥A_nB_n，且l_n-1与l_n间的距离为1，
∴四边形A_n-1A_nB_n B_n-1是梯形，
S_n=

1

2

（n-1+n）×1=

1

2

（2n-1），
当n=2014时，S₂₀₁₄=

1

2

（2×2014-1）=2013.5．
故答案为：2013.5．

点评：本题是对一次函数的综合考查，读懂题意，根据直线解析式求出A_n-1B_n-1，A_nB_n的值是解题的关键，要注意脚码的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．