Question

4．某苹果生产基地，用30名工人进行采摘或加工苹果，每名工人只能做其中一项工作．苹果的销售方式有两
种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的苹果加工成罐头出售．直接出售每吨获利4000元；加工成
罐头出售每吨获利10000元．采摘的工人每人可以采摘苹果0.4吨；加工罐头的工人每人可加工0.3吨．设
有x名工人进行苹果采摘，全部售出后，总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）如何分配工人才能获利最大？最大利润为多少？

Answer 1

分析 （1）采摘苹果的工人有x名，加工苹果的工人有30-x，根据采摘的苹果重量大于等于加工成罐头的苹果的重量得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出x的取值范围，再根据总利润=出售罐头的利润+出售水果的利润可得出y关于x的解析式；
（2）根据函数的单调性，结合x的取值范围即可解决最值问题．

解答 解：（1）采摘苹果的工人有x名，加工苹果的工人有30-x，
每天能采摘苹果的重量为0.4x吨，每天能加工苹果的重量为0.3（30-x）=-0.3x+9吨．
根据题意有$\left\{\begin{array}{l}{0.4x≥-0.3x+9}\\{30-x≥0}\end{array}\right.$，
解得：12$\frac{6}{7}$≤x≤30，
∵x为整数，
∴13≤x≤30．
总利润y=10000（-0.3x+9）+4000[0.4x-（-0.3x+9）]=-200x+54000（13≤x≤30，且x为整数）．
（2）∵y=-200x+54000在x取值范围内单调递减，
∴当x=13时，y去最大值，最大值为51400，
此时30-x=17．
故分配13名员工采摘苹果，17名员工加工罐头才能获得最大利润，最大利润是51400元．

点评 本题考查了一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）解不等式组得出x的取值范围；（2）根据函数的单调性解决最值问题．本题属于中档题，（1）有点难度，需要通过数量之间的关系找出一元一次不等式组，解不不等式组得出x的取值范围，此处学生经常忘记函数的解析式往往要带上值域；（2）在（1）的基础上利用函数的单调性解决最值问题，难度不大，单若（1）不对，此问也得不到分值，故该题的重点是通过解不等式组得出x的取值范围．