Question

4．如图，⊙O₁和⊙O₂是外切于点P的两个等圆，点A、B分别在⊙O₁、⊙O₂上，∠APB=90°，和⊙O₁、⊙O₂的另一个交点分别是C、D．求证：CD=O₁O₂．

Answer 1

分析 连接O₁O₂，AO₁，BO₂，作O₁M⊥AD于M，O₂N⊥AD于N，先证明四边形ABO₂O₁是平行四边形，再证明AC=BD即可解决问题．

解答 证明：连接O₁O₂，AO₁，BO₂，作O₁M⊥AD于M，O₂N⊥AD于N．
∵⊙O₁和⊙O₂外切于点P，
∴接O₁O₂经过点P，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠APO₁+∠BPO₂=90°，
∵O₁A=O₁P，O₂P=O₂B，
∴∠O₁AP=∠O₁PA，∠O₂PB=∠O₂BP，
∴∠O₁AB+∠O₂BA=∠O₁AP+∠PAB+∠PBA+∠O₂BP=180°，
∴AO₁∥BO₂，∵AO₁=BO₂，
∴四边形ABO₂O₁是平行四边形，
∴AB=O₁O₂=2r．O₁O₂∥AB，
∵O₁M∥O₂N，
∴四边形MNO₂O₁是平行四边形，
∴O₁M=O₂N，∵O₁M⊥AD，O₂N⊥AD，
∴AC=BD（弦心距相等弦相等），
∴AB=CD，
∴CD=2r．

点评 本题考查了相切两个圆的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造特殊四边形，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．