Question

12．菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点P在BC上，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转60°，交CD于点E，当PC=1时，CE=3．

Answer 1

分析 过点E作EF⊥BC于点F，过点P作PG⊥AB于点G，先根据菱形的性质求出BG、PG和AG的长，进而求出tan∠2的值，然后根据1+∠APE=∠2+∠B，∠APE=∠B=60°，即可得到∠CEF=30°，再设CF=x，则CE=2x，EF=$\sqrt{3}$x，利用三角形函数值求出x的值，即可求出CE的长．

解答 解：过点E作EF⊥BC于点F，过点P作PG⊥AB于点G，
∵∠B=60°，
∴BG=BPcos60°=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴PG=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AG=AB-BG=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴tan∠2=$\frac{PG}{AG}$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
又∵∠1+∠APE=∠2+∠B，∠APE=∠B=60°，
∴∠1=∠2，
∵∠DCF=60°，
∴∠CEF=30°，
设CF=x，则CE=2x，EF=$\sqrt{3}$x，
∴tan∠1=$\frac{EF}{PF}$=$\frac{\sqrt{3}x}{1+x}$=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴CE=2x=3，
故答案为3．

点评 本题主要考查了菱形的性质的知识，解答本题的关键是正确地作出辅助线，求出tan∠2的值，此题有一定的难度．