如图.在△ABC中.∠C=90°.点M在AC上.CM=2cm.AM=BC=6cm.过点A作射线AN⊥AC.若动点P从点A出发.沿射线AN匀速运动.运动速度为1cm/秒.设点P的运动时间为t秒．(1)当t= 秒时.△ABC≌△PMA,的条件下.求证:AB⊥PM,(3)连接BP.是否存在某个t的值.使得△ABP是等腰三角形?若存在.求出t的值,若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在AC上，CM=2cm，AM=BC=6cm，过点A（与BC在AC同侧）作射线AN⊥AC，若动点P从点A出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为1cm/秒，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t=

秒时，△ABC≌△PMA；
（2）在（1）的条件下，求证：AB⊥PM；
（3）连接BP，是否存在某个t的值，使得△ABP是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：（1）由于BC=AM，∠BCA=∠MAP，根据“SAS”，当AP=CA时可判断△ABC≌△PMA；易得t=8（s）；
（2）根据全等的性质得∠APM=∠CAB，由于∠CAB+∠BAP=90°，所以∠APM+∠BAP=90°，则根据三角形内角和得∠ADP=90°，于是根据垂直的定义即可得到结论；
（3）在△ABC中，∠C=90°利用勾股定理计算出AB=10，作BH⊥AN于N，则四边形AHBC为矩形，则AH=BC=6，BH=AC=8，然后分类讨论：当AP=AB时，△ABP是等腰三角形，易得t=10（s）；当BP=BA时，△ABP是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得BH=PH，则AP=2AH=12，即可得到t=12（s）；当AP=PB时，△ABP是等腰三角形，则PB=t，所以PH=t-6，在Rt△PBH中利用勾股定理得到（t-6）²+8²=t²，解得t=

．

解答：（1）解：∵BC=AM，∠BCA=∠MAP，

∴当AP=CA时，△ABC≌△PMA；
即t=8（s）；
故答案为8；
（2）证明：∵△ABC≌△PMA，
∴∠APM=∠CAB，
而∠CAB+∠BAP=90°，
∴∠APM+∠BAP=90°，
∴∠ADP=90°，
∴AB⊥PM；
（3）解：存在．
在△ABC中，∠C=90°，∵BC=6，AC=8，
∴AB=

BC2+AC2

=10，
作BH⊥AN于N，则四边形AHBC为矩形，
∴AH=BC=6，BH=AC=8，
当AP=AB时，△ABP是等腰三角形，所以t=10（s）；
当BP=BA时，△ABP是等腰三角形，则BH=PH，所以AP=2AH=12，所以t=12（s）；
当AP=PB时，△ABP是等腰三角形，则PB=t，所以PH=t-6，
在Rt△PBH中，∵PH²+BH²=PB²，
∴（t-6）²+8²=t²，解得t=

，
综上所述，当t为10s或12s或

s时，使得△ABP是等腰三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰三角形．