Question

11．如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=3$\sqrt{3}$-3，CD∥AB，并与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若sin∠C=$\frac{1}{2}$，求弦MN的长；
（3）在（2）的条件下，求优弧MEN的长度．

Answer 1

分析 （1）根据CD∥AB，OA=OB，推出∠C=∠D，根据等腰三角形的判定证得OD=OC即可；
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知ME=$\frac{1}{2}$MN，再根据tan∠C=$\frac{1}{2}$可求出OE的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案；
（3）由（2）可得△OMN是等边三角形，即∠MON=60°，由弧长公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA
∵CD∥AB∴∠OAB=∠C，∠D=∠OBA
∴∠C=∠D，
∴OD=OC=OA+AC=3$\sqrt{3}$；

（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=$\frac{1}{2}$MN，
∵tan∠C=$\frac{1}{2}$，即$\frac{OE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴设OE=x，则CE=2x，
在Rt△OEC中，OC²=OE²+CE²，即（3$\sqrt{3}$）²=x²+（2x）²，解得x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
在Rt△OME中，OM²=OE²+ME²，即3²=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²+ME²，解得ME=$\frac{3}{2}$，
∴由垂径定理得MN=3；

（3）由（2）可得△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°
∴优弧MEN的长度=$\frac{300π×3}{180}$=5π．

点评 本题考查的是垂径定理和弧长公式，涉及到锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．