Question

13．已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，D为垂足，BC的垂直平分线EF分别交BD，CA的延长线于点G、F，E为垂足，且DF=$\frac{1}{2}$BC，求证：∠ACB=2∠F．

Answer 1

分析 连结CG，利用垂直平分线的性质得到BG=CG，BE=EC=$\frac{1}{2}$BC，从而得到∠GBE=∠GCB，DF=BE，证明△BEG≌△FDG（AAS），得到∠F=∠GBE，GE=GD，证明CG平分∠ACB，所以∠ACB=2∠GCB，即可得到∠ACB=2∠F．

解答 解：如图，连结CG，

∵BD⊥AC，EF垂直平分BC
∴BG=CG，BE=EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠GBE=∠GCB，
∵DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF=BE
在△BEG和△FDG中$\left\{\begin{array}{l}∠BGE=∠FGD\\∠BEG=∠FDG\\ BE=FD\end{array}\right.$
∴△BEG≌△FDG（AAS）
∴∠F=∠GBE，GE=GD，
而GE⊥BC，GD⊥AC
∴CG平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠GCB，
∴∠ACB=2∠F．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△BEG≌△FDG．