Question

【题目】如图，A(－t，0)、B(0，t)，其中t＞0，点C为OA上一点，OD⊥BC于点D，且∠BCO=45°＋∠COD

(1) 求证：BC平分∠ABO

(2) 求的值

(3) 若点P为第三象限内一动点，且∠APO=135°，试问AP和BP是否存在某种确定的位置关系？说明理由

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2;（3）BP⊥AP，理由见解析；

【解析】

（1）分别证明：∠ABC=∠DOC，∠CBO=∠DOC即可．

（2）在BC上截DE=DO，证CE=OE=BE，则E为BC的中点，则BC=2EC=2（DE+DC）=2（OD+CD），代入化简即可，也可以用四点共圆去思考更加简单．

（3）作OM⊥OP交PB于M，交AP的延长线于N，在证明△BOP≌△AON，即可解答.

(1)证明：如图1中,∵AO=BO=t,∠AOB=90°，

∴∠OAB=∠OBA=45°,

∵∠BCO=45°+∠COD=∠BAO+∠ABC，

∴∠COD=∠ABC，

∵OD⊥BC，

∴∠CDO=90°，

∵∠DOC+∠DCO=90°,∠CBO+∠BCO=90°，

∴∠DOC=∠CBO，

∴∠ABC=∠CBO.

(2)中图1中，作DE=DO，

∵∠ODE=90°，

∴∠DEO=45°=∠EBO+∠EOB，

∵∠ABC=∠CBO=∠ABO=22.5°，

∴∠EOB=∠EBO=22.5°,

∴EB=EO，

∵∠ECO=∠EOC=67.5°，

∴EC=EO，

∴BC=2EC=2(DE+CD)=2OD+2CD，

∴=2.

(3)结论：BP⊥AP，如图2，理由如下：

作OM⊥OP交PB于M，交AP的延长线于N，

∵∠APO=135°，

∴∠OPN=∠N=45°，

∴OP=ON，

∵∠AOB=∠PON=90°，

∴∠BOP=∠AON，

在△OBP和△OAN中，

，

∴△BOP≌△AON，

∴∠BPO=∠N=45°，

∵∠OPN=45°，

∴∠BPN=∠BPO+∠OPN=90°，

∴BP⊥AP.