Question

12．已知点P是函数y=$\sqrt{3}$|x+1|图象上的点，点O（0，0），A（1，$\sqrt{3}$），求△OAP的面积S与x的函数关系式．

Answer 1

分析 分两种情况①当x＞-1时，y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，设P（x，$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$），作AM⊥y轴于M，PN⊥y轴于N，根据S=S_梯形ANMP-S_△POM-S_△PON即可求得；②当x＜-1时，y=-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，设P（x，-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$），作AN⊥x轴于N，PM⊥x轴于M，根据S=S_梯形ANMP-S_△POM-S_△PON即可求得．

解答 解：∵点P是函数y=$\sqrt{3}$|x+1|图象上的点，
当x＞-1时，y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
设P（x，$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$），如图1，

作AM⊥y轴于M，PN⊥y轴于N，
∴S=S_梯形AMNP+S_△AOM-S_△PON
=$\frac{1}{2}$（x+1）（$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$x（$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
当x＜-1时，y=-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
设P（x，-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$），如图2，

作AN⊥x轴于N，PM⊥x轴于M，
∴S=S_梯形ANMP-S_△POM-S_△PON
=$\frac{1}{2}$（-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$）（-x+1）-$\frac{1}{2}$×（-x）（-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$）-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x＜-1）．
综上，△OAP的面积S与x的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}（x＞-1）}\\{-\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{2}（x＜-1）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论思想是解决本题的关键．