Question

5．如图，已知B（4，-6），BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过BC的中点D，且与AB交于点E．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点F是OC上一点，且△FDC∽△AFO，求经过E，F两点的一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据中点坐标公式得到点D的坐标，再根据待定系数法即可得到反比例函数的解析式；
（2）先把E的横坐标4代入反比例函数的解析式，得到E的坐标；再根据相似三角形的性质得到点F的坐标，再根据待定系数法即可得到经过E，F两点的一次函数的解析式．

解答 解：（1）∵B（4，-6），BC⊥y轴于点C，
∴点D的坐标为（2，-6），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过BC的中点D，
∴-6=$\frac{k}{2}$，
解得k=-12．
故反比例函数的解析式为y=-$\frac{12}{x}$；

（2）当x=4时，y=-$\frac{12}{x}$=-$\frac{12}{4}$=-3，
则点E的坐标为（4，-3），
∵△FDC∽△AFO，
∴$\frac{FC}{AO}$=$\frac{CD}{OF}$，即$\frac{6-OF}{4}$=$\frac{2}{OF}$，
解得OF=2或OF=4，
∴点F的坐标为（0，-2）或（0，-4），
①当点F的坐标为（0，-2）时，设经过E，F两点的一次函数的解析式为y=k₁x+b₁，
则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=-2}\\{4{k}_{1}+{b}_{1}=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{4}}\\{{b}_{1}=-2}\end{array}\right.$．
故经过E，F两点的一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x-2；
②当点F的坐标为（0，-4）时，设经过E，F两点的一次函数的解析式为y=k₂x+b₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=-4}\\{4{k}_{2}+{b}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{1}{4}}\\{{b}_{2}=-4}\end{array}\right.$．
故经过E，F两点的一次函数的解析式为y=$\frac{1}{4}$x-4．

点评 考查了反比例函数综合题，解题的关键是思路掌握待定系数法求反比例函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式，相似三角形的性质的知识，综合性较强，难度中等．