Question

2．如图，直线l₁⊥l₂，l₁⊥l₃，垂足分别为D、E，把一个等腰三角形（AC=BC，∠ACB=90°）放入图中，使三角板的三个顶点A、B、C分别在直线l₃、l₂、l₁上滑动（l₃、l₂也可以左右移动，但l₃始终在l₂的右边），在滑动过程中你发现线段BD、AE与DE有什么关系？试说明你的结论．
（1）如图1，根据条件请完成填空．
证明：∵l₁⊥l₂，l₁⊥l₃
∴∠BDC=∠CEA=90°
∴∠ACE+∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCD=90°
∴∠CAE=∠BCD（同角的余角相等）
在△CBD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEA}\\{∠CAE=∠BCD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△ACE（AAS）
∴BD=CE，AE=DC
∴DE=DC+CE=AE+BD
（2）如图2，BD、AE与DE有什么关系，猜想并证明．
猜想关系：DE=BD-AE．
证明：
（3）如图3，BD、AE与DE有什么关系？
猜想关系：DE=AE-BD．（只写结论，不必证明）

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等，全等三角形的判定定理即可得出结论；
（2）根据（1）中的思路△CBD≌△ACE，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；
（3）依据（1）、（2）的结论，结合图形即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，根据条件请完成填空．

证明：∵l₁⊥l₂，l₁⊥l₃
∴∠BDC=∠CEA=90°
∴∠ACE+∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCD=90°
∴∠CAE=∠BCD（同角的余角相等）
在△CBD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEA}\\{∠CAE=∠BCD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△ACE（AAS） 
∴BD=CE，AE=DC
∴DE=DC+CE=AE+BD
（2）如图2，BD、AE与DE有什么关系，猜想并证明．猜想关系：DE=BD-AE．

证明：∵l₁⊥l₂，l₁⊥l₃
∴∠BDC=∠CEA=90°  
∴∠ACE+∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCD=90°
∴∠CAE=∠BCD  
在△CBD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEA}\\{∠CAE=∠BCD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△ACE．
∴BD=CE，AE=DC
∴DE=CE-CD=BD-AE．
（3）如图3，DE=AE-BD．

证明：∵l₁⊥l₂，l₁⊥l₃
∴∠BDC=∠CEA=90°  
∴∠ACE+∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCD=90°
∴∠CAE=∠BCD  
在△CBD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEA}\\{∠CAE=∠BCD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△ACE．
∴BD=CE，AE=DC
∴DE=CD-CE=AE-BD．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，证得△CBD≌△ACE是解题的关键．