Question

7．一直线分三角形ABC的面积比为S₁：S₂，其对应周长比为P₁：P₂，若恰有S₁：S₂=P₁：P₂．
求证：此直线必经过△ABC的内切圆圆心．

Answer 1

分析 设直线l交三角形两边AB，AC于E，F，分三角形ABC的面积比为S₁：S₂，其对应周长比为P₁：P₂，有S₁：S₂=P₁：P₂．作角A的平分线交EF于O，则O到AB，AC的距离相等，设为d，则S_△AEF=$\frac{1}{2}$（AE+AF）d，又S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，a，b，c为三边长，r为内切圆半径，只要证明d=r，即可解决问题．

解答 解：设直线l交三角形两边AB，AC于E，F，分三角形ABC的面积比为S₁：S₂，其对应周长比为P₁：P₂，有S₁：S₂=P₁：P₂．
作角A的平分线交EF于O，则O到AB，AC的距离相等，设为d，
则S_△AEF=$\frac{1}{2}$（AE+AF）d，又S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，a，b，c为三边长，r为内切圆半径，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{（AE+AF）d}{（a+b+c）r}$，
∵S₁：S₂=P₁：P₂，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AE+AF}{a+b+c}$，
∴d=r，即O点为内心，
∴直线l过内心O．

点评 本题考查三角形的内切圆与内心、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用比例的性质解决问题，题目比较难，比较抽象．