Question

15．函数[x]称为高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如[5.3]=5，[-2.4]=-3，[4]=4．对任意的实数x，x-1＜[x]≤x．
（1）证明：对于任意实数x，有[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；
（2）解方程：[$\frac{5+6x}{8}$]=$\frac{15x-7}{5}$．

Answer 1

分析 （1）分别利用：①若x为整数，②若x不为整数，分析得出等式成立；
（2）首先得出$\frac{5+6x}{8}$-1＜[$\frac{5+6x}{8}$]≤$\frac{5+6x}{8}$，进而得出求出x的值．

解答 （1）证明：①若x为整数，则[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=x+x=2x=[2x]；
②若x不为整数，设整数部分为a，小数部分为r（0＜r＜1），
当0＜r＜0.5时，此时0＜2r＜1，[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=“a+a=＜r＜0.5，
[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[a]+[a]=2a，[2x]=[2a+2r]=2a，所以[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]，
当0.5≤r＜1时，此时1≤2r＜2，
[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=a+a+1=2a+1，[2x]=[2a+2r]=2a+1，
所以[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]，
综上得：对任意的实数x有[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；

（2）解：∵x-1＜[x]≤x，
∴$\frac{5+6x}{8}$-1＜[$\frac{5+6x}{8}$]≤$\frac{5+6x}{8}$，
即$\frac{5+6x}{8}$-1＜$\frac{15x-7}{5}$≤$\frac{5+6x}{8}$，
解得：$\frac{41}{90}$＜x≤$\frac{81}{90}$，
∴$\frac{696}{720}$≤$\frac{5+6x}{8}$≤$\frac{936}{720}$，
∴[$\frac{5+6x}{8}$]=0或1，
则$\frac{15x-7}{5}$]=0或1，
解得：x=$\frac{7}{15}$或x=$\frac{4}{5}$，
经检验都符合题意．

点评 此题主要考查了取整计算以及不等式的解法等知识，利用分类讨论得出是解题关键．