Question

4．如图，已知双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上两点，过A、B两点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D，连接AD、BC，则：
（1）若A、B两点的坐标分别是（1，4）、（4，1），求S_△OAB；
（2）证明：S_△ABD=S_△ABC．
（3）连接CD，判断CD与AB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥x轴于H，如图，利用图形得到S_△OAB+S_△OBH=S_△AOC+S_梯形ACHB，根据反比例函数k的几何意义得S_△OBH=S_△AOC，所以S_△OAB=S_梯形ACHB，然后根据梯形得面积公式求解；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征，设A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），然后根据三角形面积公式可得S_△ABD=S_△ABC=$\frac{b-a}{2a}$k；
（3）由于S_△ABD=S_△ABC，根据三角形面积公式得到点C点和点D到AB的距离相等，所以CD∥AB．

解答 （1）解：作BH⊥x轴于H，如图，
∵S_△OAB+S_△OBH=S_△AOC+S_梯形ACHB，
而S_△OBH=S_△AOC，
∴S_△OAB=S_梯形ACHB=$\frac{1}{2}$×（1+4）×（4-1）=$\frac{15}{2}$；
（2）证明：设A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$•b•（$\frac{k}{a}$-$\frac{k}{b}$）=$\frac{b-a}{2a}$k，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•$\frac{k}{a}$•（b-a）=$\frac{b-a}{2a}$k，
∴S_△ABD=S_△ABC；
（3）解：CD∥AB．理由如下：
∵S_△ABD=S_△ABC，
∴CD∥AB．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了反比例函数k的几何意义和三角形面积公式．