Question

3．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线，求证：AB+BD=AC．

Answer 1

分析 在AC上截取AE=AB，连接DE，求出∠BAD=∠EAD，根据SAS推出△BAD≌△EAD，根据全等三角形的性质得出BD=DE，∠B=∠AED，根据三角形外角性质和已知求出∠EDC=∠C，推出DE=EC=BD即可．

解答 证明：
在AC上截取AE=AB，连接DE，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵在△BAD和△EAD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠BAD=∠EAD}\\{AB=AE}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴BD=DE，∠B=∠AED，
∵∠AED=∠C+∠EDC，∠B=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC=BD，
∴AB+BD=AE+EC=AC．

点评 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．