题目内容
求方程x2+2y2=1979的正整数解.
考点:不定方程的分析求解
专题:不定方程问题
分析:先证明若方程有正整数解,则x和y必都为奇数.再根据个位数的特点解答即可.
解答:
解:首先证明若方程有正整数解,则x和y必都为奇数.
x为奇数是显然的.若y为偶数,由于x2为4k+1型的数,故x2+2y2为4k+1型的数,而1979为4k+3型的数,则x2+2y2为4k+1型的数,而1979为4k+3型的数,这是不可能的,从而y也为奇数.
由于x2的个位数是1,5,9;2y2的个位数是0,2,8,由于x2+2y2的个位数是9,可得x2的个位数只能为1,9;y2的个位数只能是5,3,7(考虑到y是奇数),
因为2y2≤1979,则y2≤
,所以y≤31,而不大于31的个位是5,3,7的数只有3,5,7,13,15,17,23,25,27.
经检验,知x=27,y=25是原方程的正整数解.
答:原方程的正整数解为
.
x为奇数是显然的.若y为偶数,由于x2为4k+1型的数,故x2+2y2为4k+1型的数,而1979为4k+3型的数,则x2+2y2为4k+1型的数,而1979为4k+3型的数,这是不可能的,从而y也为奇数.
由于x2的个位数是1,5,9;2y2的个位数是0,2,8,由于x2+2y2的个位数是9,可得x2的个位数只能为1,9;y2的个位数只能是5,3,7(考虑到y是奇数),
因为2y2≤1979,则y2≤
1979 |
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经检验,知x=27,y=25是原方程的正整数解.
答:原方程的正整数解为
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点评:此题考查了不定方程的解,将原式变形转化为奇偶性问题是解题的关键.
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