552.ΔABC在平面α内的射影是ΔA′B′C′，它们的面积分别是S、S′，若ΔABC所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0＜θ＜90°＝，则S′＝S·cosθ.

证法一 如图(1)，当BC在平面α内，过A′作A′D⊥BC，垂足为D.

∵AA′⊥平面α，AD在平面α内的射影A′D垂直BC.

∴AD⊥BC.∴∠ADA′＝θ.又S′＝A′D·BC，S＝AD·BC，cosθ＝,∴S′＝S·cosθ.

证法二　 如图(2)，当B、C两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S′＝S·cosθ.

551. 已知：正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB′⊥BC′，BC＝2，求：线段AB′在侧面上的射影长.

解析：如图，取BC的中点D.∵AD⊥BC，侧面⊥底面ABC，∴AD⊥侧面是斜线AB′在侧面的射影.又∵AB′⊥BC′，∴⊥BC′.

设BB′＝x，在RtΔ中，BE∶BD＝，＝.

∵E是ΔBB′C的重心.∴BE＝BC′＝

∴x＝·，解得：x＝.∴线段AB′在侧面的射影长为.

550.　 三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面三条对角线AB₁、BC₁、CA₁中，AB₁⊥BC₁.求证：AB₁⊥CA₁.

证　 方法1　 如图，延长B₁C₁到D，使C₁D＝B₁C₁.连CD、A₁D.因AB₁⊥BC₁，故AB₁⊥CD；又B₁C₁＝A₁C₁＝C₁D，故∠B₁A₁D＝90°，于是DA₁⊥平面AA₁B₁B.故AB₁⊥平面A₁CD，因此AB₁⊥A₁C.

方法2　 如图，取A₁B₁、AB的中点D₁、P.连CP、C₁D₁、A₁P、D₁B，易证C₁D₁⊥平面AA₁B₁B.由三垂线定理可得AB₁⊥BD₁，从而AB₁⊥A₁D.再由三垂线定理的逆定理即得AB₁⊥A₁C.

说明　 证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法：

(1)利用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；

(3)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.

549. 已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F

(1)求证：AF⊥SC

(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD

解析：如图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面ABC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证

证明 　(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC

∵矩形ABCD，∴AB⊥BC　　 ∴BC⊥平面SAB　　　 ∴BC⊥AE又SB⊥AE　 ∴AE⊥平面SBC

∴SC⊥平面AEF　　 ∴AF⊥SC

(2)∵SA⊥平面AC　 ∴SA⊥DC，又AD⊥DC　　 ∴DC⊥平面SAD　 ∴DC⊥AG

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF　　 ∴SC⊥AG　 ∴AG⊥平面SDC　 ∴AG⊥SD

548.　 α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定平面α∥β的是(　　 )

A.α、β都垂直于平面

B.α内不共线的三点到β的距离相等

C.l、m是α内的直线，且l∥β，m∥β

D.l、m是两条异面直线，且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β

解析：显然B、C不能推出α∥β，有α、β相交的情况存在，对于A、D，学了“面面垂直”后，就可以说明A不能推出α∥β，α、β有相交的可能，从而选D.

事实上，l∥α，m∥α，在α内任取一点A，过A作l′∥l，m′∥m,因为l,m异面，所以l′,m′相交，则可推出l′∥β，m′∥β.由面面平行的判定定理可推出α∥β.

547.　 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是(　　 )

A.经过直线a有且只有一个平面平行于直线b

B.经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b

C.存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面

D.存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面

解析：A、C、D均为真命题，B为假命题；∵若过a的平面α⊥b,则b垂直α内的直线a，从而a⊥b，那么限制a,b必须垂直，而条件中没有指明a、b是否垂直.

546.　 设直线a在平面α内，则“平面α∥平面β”是“直线a∥平面β”的(　　 )条件

A.充分但不必要　　　　　 　　　　 B.必要但不充分

C.充分且必要　　　　　　　　　　 D.不充分也不必要

解析：若α∥β，∵aα，∴a与β无公共点，∴a∥β.

若a∥β，aα，则α，β的关系不能确定，所以应选A.

545.如图，直线AC、DF被三个平行平面α、β、所截.

求证：＝

证：(i)当AC，DF共面S时，

连AD，BE，CF

则AD∥BE∥CF

从而＝

(ii)当AC、DE异面时，连CD设CD∩β＝G

连AD、BG、GE、CF，如图

∵α∥β，平面ACD∩β＝BG，平面ACD∩α＝AD.

∴BG∥AD

∴＝

同理可证：EG∥CF，∴＝

∴＝

综合(i)(ii)知：＝.

544.a和b是两条异面直线，求证：过a且平行b的平面必平行于过b且平行于a的平面.

已知：a,b是异面直线，aα，bβ,a∥β,b∥α.

求证：α∥β.

证：过b作平面与平面α交于b′

543.一条直线和两个平行平面相交，求证：它和两个平面所成的角相等.

已知：α∥β，直线a分别与α和β相交于点A和A′.

求证：a与α所成的角与a与β所成的角相等.

解析：(1)当a⊥α时，∵α∥β，∴α⊥β.

即a与α所成的角与a与β所成的角都是直角.

(2)当a是α的斜线时，如图，设P是a上不同于A、A′的任意一点，过点P引a′⊥α, a′∩α＝B,a′∩β＝B′.

连结AB和A′B′.

∵a∥β，a′⊥α.

∴α′⊥β

由此可知，∠PAB是a和α所成的角，∠P′A′B是a和β所成的角，而AB∥A′B′.

∴∠PAB＝∠PA′B′

即　 a和α所成的角等于a和β所成的角.