502. 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得到四边形EFGH．

　(1)四边形EFGH是______________；

　(2)当对角线AC＝BD时，四边形EFGH是______________；

　(3)当对角线满足条件______________时，四边形EFGH是矩形；

　(4)当对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是正方形．

解析：(1)由三角形中位线定理可知EFAC，HGAC，于是EFHG，故四边形EFGH为平行四边形；

　(2)当AC＝BD时，由EF＝AC，EH＝BD，得EF＝EH，即平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH为菱形；

　(3)要使平行四边形EFGH为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF⊥FG，则AC⊥BD；

　(4)要使平行四边形EFGH为正方形，需且只须AC⊥ BD，且AC＝BD；

501. 在长方体ABCD－中，AB＝2，，M、N分别是AD、DC的中点．

　(1)证明∥；

　(2)求异面直线MN与所成角的余弦值．

解析：(1)∵　 ∥∥，＝＝，∴　 是平行四边形，∴AC∥，又MN∥AC，因此，MN∥．

　(2)由(1)，是异面直线MN与所成角．在△中，，．于是有．

500. 如图9－16，在棱长为a的正方体ABCD-中，求异面直线AC和的距离．

解析：连结交于，连结BD交AC于O，连结，在矩形中，是中点，O是AC中点，则于O．同理于，∴　 是异面直线AC和的公垂线．∵　 ＝＝a，∴　 AC与间的距离为a．

499. 如图9－15，已知A是平面BCD外一点，满足AC＝BD，M、N、P、Q分别是BC、CD、DA、AB的中点．求证：QN⊥PM．

解析：在△ABC中，∵　 Q是AB中点，M是BC中点，∴　 MQ∥AC，且MQ＝AC，同理PN∥AC，且PN＝AC．∴　 QMPN．∴　 四边形MNPQ是平行四边形，又 ∵ PQ＝BD，QM＝AC，AC＝BD，∴　 PQ＝QM，∴　 平行四边形MNPQ是菱形，∴　 QN⊥PM．

498. 如图9－13，P是平面ABC外一点，PA＝4，，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3．求异面直线PA和BC所成角的大小．

解析：取AC中点F，连结DF、EF，在△PAC中，∵　 D是PC中点，F是AC中点，则DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴　 ∠DFE为异面直线PA与BC所成的角．在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，∴　 ，∴ ∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°．

497. 如图9－12，O是平面ABC外一点，、、分别在线段OA、OB、OC上，且满足，．求证：△ABC∽△．

解析：∵　 ，，∴　 .在△AOB中，由，∴　 ∥AB，同理∥BC，∵　 与∠ABC方向相同，∴　 ＝∠ABC，同理＝∠BAC，∴　 △∽△ABC．

496. 如图9－11，在正方体ABCD-中，E、F分别是棱、的中点，求证：EF∥BD，且．

解析：连结．∵　 ∥，∴　 四边形是平面图形，又∵＝，∴　 四边形是平行四边形，∴　 BD，在△中，∵　 E、F分别是与的中点，∴　 EF，由公理4有EF∥BD，且有．

495. 已知m、n为异面直线，m平面a，n平面b，a∩b＝l，则l(　)．

　A．与m、n都相交　　　　　　　 B．与m、n中至少一条相交

　C．与m、n都不相交　　　　　　 D．至多与m、n中的一条相交

解析：B．可参看下列图形：

494. 三条直线共面的条件可以是(　)．

　A．这三条直线两两平行B．这三条直线交于一点

　C．这三条直线中的一条与另外两条都相交

　D．这三条直线两两相交，但不交于一点

解析：D．可参看下列图形：

493. 在正方体ABCD-中，与对角线异面的棱有(　)．

　A．3条　　　　 B．4条　　　　 C．6条　　　　　 D．8条

解析：C．如图答9－10，把正方体的几条棱分为三类，在平面上的四条棱中有、与异面，在平面ABCD上的四条棱中有AD、CD与异面，上下两底面之间的四条棱中，有、与是异面直线，故与异面的棱共6条．