12．(2010年扬州调研)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．

(1)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

(2)若年销售量T关于x的函数为T＝3240(－x²+2x+)，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

解：(1)由题意得：上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元；

本年度每辆车的投入成本为10×(1+x)万元；

本年度每辆车的出厂价为13×(1+0.7x)万元；

本年度年销售量为5000×(1+0.4x)辆．

因此本年度的利润为

y＝[13×(1+0.7x)－10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1+0.4x)＝－1800x²+1500x+15000(0<x<1)．

由－1800x²+1500x+15000>15000，解得0<x<.

为使本年度的年利润比上年度有所增加，则0<x<.

(2)本年度的利润为

f(x)＝[13×(1+0.7x)－10×(1+x)]×3240×(－x²+2x+)＝3240×(0.9x³－4.8x²+4.5x+5)，

则f′(x)＝3240×(2.7x²－9.6x+4.5)＝972(9x－5)(x－3)．

令f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)．

当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；

当x∈(，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．

∴当x＝时，f(x)取得最大值，f(x)_max＝f()＝20000.

即当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元

11．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x，则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－)万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？

解：设重组后，该企业年利润为y万元．依题意得

y＝(2000－x)(3.5+1－)－0.5x＝－5(x+)+9000.81，

∴y＝－5(x+)+9000.81(0<x≤100且x∈N)，

y＝－5(x+)+9000.81≤－5×2+9000.81＝8820.81，

∴当且仅当x＝，即x＝18时取等号，此时y取得最大值．

即为使企业年利润最大，应安排18人待岗．

10.(2010年黑龙江哈尔滨模拟)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售．同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：,

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30＝110(元)．设购买商品的优惠率＝.试问：

(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

(2)对于标价在[500,800)(元)的商品，顾客购买标价为多少元的商品时，可得到不小于的优惠率？

解：(1)＝，即顾客得到的优惠率是.

(2)设商品的标价为x元，则500≤x<800.则消费金额满足400≤0.8x<640.

当400≤0.8x<500，即500≤x<625时，由≥解得x≤450，不合题意；当500≤0.8x<640.即625≤x<800时，由≥解得625≤x≤725.

因此，当顾客购买标价在[625,725](元)内的商品时，可得到不小于的优惠率．

9．(2010年浙江省宁波市十校高三联考)定义域为R的函数f(x)＝若关于x的函数h(x)＝f²(x)+bf(x)+有5个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²等于________．

解析：假设关于t的方程t²+bt+＝0不存在t＝1的根，则使h(x)＝0的f(x)的值也不为1，而显然方程f(x)＝k且k≠1的根最多有两个，而h(x)是关于f(x)的二次函数，因此方程h(x)＝0的零点最多有四个，与已知矛盾，可见t＝1时t²+bt+＝0，即得b＝－，所以h(x)＝f ²(x)－f(x)+＝(f(x)－1)(2f(x)－1)，而方程f(x)－1＝0的解为x＝0,1,2，方程2f(x)－1＝0的解为x＝－1,3，由此可见五根分别为－1，0,1,2,3，因此直接计算得上述五数的平方和为15.答案：15

8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系是v＝2000·ln(1+M/m)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.

解析：由题意得2000ln(1+)≤12000，∴≤e⁶－1.答案：e⁶－1

7.(2010年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A、B、C、D为圆心，以b(0<b≤)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．

解析：由题意实线部分的总长度为l＝4(3－2b)+2πb＝(2π－8)b+12，l关于b的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l关于b的函数单调递减，因此，当b取最大值时，l取得最小值，结合图形知，b的最大值为，代入上式得l_最小＝(2π－8)×+12＝3π.答案：3π

6．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下：

起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意可得：

f(x) ＝　 　

令f(x)＝22.6，解得x＝9.答案：9

5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n+1)(2n+1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．

解析：由题知第一年产量为a₁＝×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a_n＝f(n)－f(n－1)＝n·(n+1)(2n+1)－n·(n－1)(2n－1)＝3n²(n∈N^*)，令3n²≤150，得1≤n≤5⇒1≤n≤7，故生产期限最长为7年．答案：7

4．(2010年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分钟)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：

根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于________分钟．

解析：由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝2，令n＝1000，得2＝1000，又2¹⁰＝1024，所以时刻t最接近200分钟．答案：200