2．中心在原点.焦点在坐标为(0.±5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为.则椭圆方程为( )——青夏教育精英家教网—

2．中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(　　 )

1．已知直线x+2y－3=0与圆x²+y²+x－6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m等于(　　 )

A.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－1

高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。

求圆锥曲线的方程

[复习要点]

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.

定形--指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

定式--根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx²+ny²=1(m＞0,n＞0).

定量--由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.

[例题]

[例1]　　　　　　　　双曲线=1(b∈N)的两个焦点F₁、F₂，P为双曲线上一点，

|OP|＜5,|PF₁|,|F₁F₂|,|PF₂|成等比数列，则b²=_________.

解：设F₁(－c,0)、F₂(c,0)、P(x,y),则

|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)＜2(5²+c²),

即|PF₁|²+|PF₂|²＜50+2c²,

又∵|PF₁|²+|PF₂|²=(|PF₁|－|PF₂|)²+2|PF₁|·|PF₂|,

依双曲线定义，有|PF₁|－|PF₂|=4,

依已知条件有|PF₁|·|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²

∴16+8c²＜50+2c²,∴c²＜,

又∵c²=4+b²＜,∴b²＜,∴b²=1.

答案：1

[例2]　　　　　　　　已知圆C₁的方程为，椭圆C₂的方程为

，C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程。

解：由

设椭圆方程为

设　

又　

两式相减，得

又

即

将

由

得

解得　　　故所有椭圆方程

[例3]　　　　　　　　过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

解法一：由e=,得,从而a²=2b²,c=b.

设椭圆方程为x²+2y²=2b²,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在椭圆上.

则x₁²+2y₁²=2b²,x₂²+2y₂²=2b²,两式相减得，

(x₁²－x₂²)+2(y₁²－y₂²)=0,

设AB中点为(x₀,y₀),则k_AB=－,

又(x₀,y₀)在直线y=x上，y₀=x₀,

于是－=－1,k_AB=－1,

设l的方程为y=－x+1.

右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)²=2b²,b²=.

∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.

解法二：由e=,从而a²=2b²,c=b.

设椭圆C的方程为x²+2y²=2b²,l的方程为y=k(x－1),

将l的方程代入C的方程，得(1+2k²)x²－4k²x+2k²－2b²=0,

则x₁+x₂=,y₁+y₂=k(x₁－1)+k(x₂－1)=k(x₁+x₂)－2k=－.

直线l：y=x过AB的中点(),则,

解得k=0，或k=－1.

若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.

解法3：设椭圆方程为

直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。

故可设直线

，

，，，

，，

，，，

，，

则，

，，

，　　

所以所求的椭圆方程为：

[例4]　　　　　　　　如图，已知△P₁OP₂的面积为，P为线段P₁P₂的一个三等分点，求以直线OP₁、OP₂为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.

解：以O为原点，∠P₁OP₂的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.

设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)

由e²=，得.

∴两渐近线OP₁、OP₂方程分别为y=x和y=－x

设点P₁(x₁, x₁),P₂(x₂,－x₂)(x₁＞0,x₂＞0),

则由点P分所成的比λ==2,

得P点坐标为(),

又点P在双曲线=1上，

所以=1,

即(x₁+2x₂)²－(x₁－2x₂)²=9a²,整理得8x₁x₂=9a²　　 ①

即x₁x₂= 　　　　　　 ②

由①、②得a²=4,b²=9

故双曲线方程为=1.

[例5]　　　　　　　　过椭圆C：上一动点P引圆O：x² +y² =b²的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。(1) 已知P点坐标为(x₀，y₀ )并且x₀y₀≠0，试求直线AB方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；(3) 椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。

解：(1)设A(x₁，y₁)，B(x₂， y₂)

切线PA：，PB：

∵P点在切线PA、PB上，∴

∴直线AB的方程为

(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(，0)；令x=0，则N(0，)

∴　 ①

∵2b=8　　 ∴b=4　代入①得a²=25, b² =16

∴椭圆C方程：　 (注：不剔除xy≠0，可不扣分)

(3) 假设存在点P(x₀，y₀)满足PA⊥PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，

四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA|　 ∴　 ①　

又∵P点在椭圆C上　 ∴　 ②

由①②知x

∵a>b>0　 ∴a² －b²>0

(1)当a²－2b²>0，即a>b时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；

(2)当a²－2b²<0，即b<a<b时，椭圆C上不存在满足条件的P点

[例6]　　　　　　　　已知椭圆C的焦点是F₁(－，0)、F₂(，0)，点F₁到相应的准线的距离为，过F₂点且倾斜角为锐角的直线l与椭圆C交于A、B两点，使得|F₂B|=3|F₂A|.

　 (1)求椭圆C的方程；(2)求直线l的方程.

解：(1)依题意，椭圆中心为O(0，0)，

点F₁到相应准线的距离为，

a²=b²+c²=1+3=4

∴所求椭圆方程为

(2)设椭圆的右准线与l交于点P，作AM⊥，AN⊥，垂足

分别为M、N. 由椭圆第二定义，

得

同理|BF₂|=e|BN|

由Rt△PAM-Rt△PBN，得…9分

的斜率.

∴直线l的方程

[例7]　　　　　　　　已知点B(－1，0)，C(1，0)，P是平面上一动点，且满足

(1)求点P的轨迹C对应的方程；

(2)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.

(3)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k₁、k₂满足k₁·k₂=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.

解：(1)设

[例8]　　　　　　　　已知曲线，直线l过A(a，0)、

B(0，－b)两点，原点O到l的距离是

(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程.

解：(Ⅰ)依题意，由原点O到l的距离

为，得　　　又　

故所求双曲线方程为

　 (Ⅱ)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx－1，则点M、N坐标()、

()是方程组　　　的解

消去y，得　 ①

依设，由根与系数关系，知

　 ∴=－23，k=±

当k=±时，方程①有两个不等的实数根

故直线l方程为

[例9]　　　　　　　　已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．

(1)求动点的轨迹方程；

(2)若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围．

解：(1)由已知可得：　，　

∴

∴　所求的椭圆方程为　 .

(2)方法一：

　由题知点D、M、N共线，设为直线m，当直线m的斜率存在时，设为k，则直线m的方程为　 y = k x +3　代入前面的椭圆方程得

　　 (4+9k ²) x ² +54 k +45 = 0　　　　　 ①

由判别式，得.

再设M (x₁ , y ₁ ), N ( x ₂ , y ₂)，则一方面有

，得

另一方面有，　　 ②　

将代入②式并消去 x₂可得

，由前面知，

∴ ，解得　 .　

又当直线m的斜率不存在时，不难验证：,

所以为所求。

方法二:同上得

设点M (3cosα，2sinα)，N (3cosβ,2sinβ)　

则有

由上式消去α并整理得

,　由于

∴ ，解得为所求.

方法三：设法求出椭圆上的点到点D的距离的最大值为5，最小值为1.

进而推得的取值范围为。

[求圆锥曲线的方程练习]

考试内容：

. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；

. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；

. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；

考试要求：

. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；

. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；

. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；

. (4)了解圆锥曲线的初步应用。

(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点

说明　在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.

5.坐标变换

坐标变换　在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

坐标轴的平移　坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.

坐标轴的平移公式　设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则

　　　 x=x′+h　　　　　　　　 x′=x-h

(1)　　　　　　　　　或(2)

　　　 y=y′+k　　　　　　　　 y′=y-k

公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.

中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程

中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.

方　　程	焦　点	焦　线	对称轴
椭圆	+=1	(±c+h,k)	x=±+h	x=h y=k
+ =1	(h,±c+k)	y=±+k	x=h y=k
双曲线	-=1	(±c+h,k)	=±+k	x=h y=k
-=1	(h,±c+h)	y=±+k	x=h y=k
抛物线	(y-k)²=2p(x-h)	(+h,k)	x=-+h	y=k
(y-k)²=-2p(x-h)	(-+h,k)	x=+h	y=k
(x-h)²=2p(y-k)	(h, +k)	y=-+k	x=h
(x-h)²=-2p(y-k)	(h,- +k)	y=+k	x=h