4.(人教A版选修1-1,2-1第47页习题2.1B组第3题)

   如图,矩形ABCD中,EFGH分别是矩形四条边的中点,RST是线段OF的四等分点,是线段CF的四等分点.请证明直线ERESET的交点LMN在同一个椭圆上.

变式1:直线与双曲线的右支交于不同的两点AB.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时,则实数     

解:将直线代入双曲线C的方程整理,得

           ……①

依题意,直线L与双曲线C的右支交于不同两点,故

解得

AB两点的坐标分别为,则由①式得

               ……②

∵双曲线C的右焦点F 在以AB为直径的圆上,则由FAFB得:

整理,得……③

把②式及代入③式化简,得

解得,故

变式2(2002年广东卷):AB是双曲线上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点.

(Ⅰ)求直线AB的方程;

(Ⅱ)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于CD两点,那么ABCD四点是否共圆?为什么?    解:(Ⅰ)直线AB的方程为.(求解过程略)

(Ⅱ)联立方程组

CD垂直平分AB,得CD方程为

代入双曲线方程整理,得

以及CD的中点为

则有从而

ABCD四点到点M的距离相等.

ABCD四点共圆.

变式3(2005年湖北卷):设AB是椭圆上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于CD两点.

  (Ⅰ)确定的取值范围,并求直线AB的方程;

(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得ABCD四点在同一个圆上?并说明理由.

(Ⅰ)解法1:依题意,可设直线AB的方程为整理,得  ①

①的两个不同的根,

   ②

是线段AB的中点,得

解得=-1,代入②得,>12,即的取值范围是(12,+).

于是,直线AB的方程为

解法2:设

依题意,

(Ⅱ)解法1:代入椭圆方程,整理得

             ③

③的两根,

于是由弦长公式可得   ④

将直线AB的方程  ⑤

同理可得  ⑥

假设在在>12,使得ABCD四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.点M到直线AB的距离为  ⑦

于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当时,ABCD四点均在以M为圆心,为半径的圆上.

(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:

ABCD共圆ACD为直角三角形,A为直角

  ⑧

由⑥式知,⑧式左边=

由④和⑦知,⑧式右边=

         

∴⑧式成立,即ABCD四点共圆

解法2:由(Ⅱ)解法1及.

代入椭圆方程,整理得

 ③    解得.

将直线AB的方程代入椭圆方程,整理得

  ⑤   解得.

不妨设

计算可得,∴A在以CD为直径的圆上.

又点A与B关于CD对称,∴ABCD四点共圆.

(注:也可用勾股定理证明ACAD)

2.(人教A版选修1-1,2-1第40页练习第3题)

已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线A B,交椭圆于AB两点,是椭圆的左焦点.

(1)求的周长;

(2)如果AB不垂直于x轴,的周长有变化吗?为什么?

变式1(2005年全国卷Ⅲ):设椭圆的两个焦点分别为F1F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是

A.       B.     C.  D.

解一:设椭圆方程为,依题意,显然有,则,即,即,解得.选D.

解二:∵△F1PF2为等腰直角三角形,∴.

,∴,∴.故选D.

变式2:已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为     

解一:由定义知,又已知,解得,在中,由余弦定理,得,要求的最大值,即求的最小值,当时,解得.即的最大值为

解二:设,由焦半径公式得,∵,∴,∴,∵,∴,∴的最大值为

变式3(2005年全国卷Ⅰ):已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于AB两点,共线.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值.

解:(Ⅰ)设椭圆方程为

则直线AB的方程为,代入,化简得

.

A(),B),则

共线,得

,所以

故离心率

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,所以椭圆可化为

,由已知得

 在椭圆上,

由(Ⅰ)知

,代入①得

为定值,定值为1.

 0  51866  51874  51880  51884  51890  51892  51896  51902  51904  51910  51916  51920  51922  51926  51932  51934  51940  51944  51946  51950  51952  51956  51958  51960  51961  51962  51964  51965  51966  51968  51970  51974  51976  51980  51982  51986  51992  51994  52000  52004  52006  52010  52016  52022  52024  52030  52034  52036  52042  52046  52052  52060  447348 

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