摘要：2．(人教A版选修1-1.2-1第40页练习第3题) 已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线A B.交椭圆于A.B两点.是椭圆的左焦点． (1)求的周长, (2)如果AB不垂直于x轴.的周长有变化吗?为什么? 变式1:设椭圆的两个焦点分别为F1..F2.过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P.若△F1PF2为等腰直角三角形.则椭圆的离心率是 A． B． C． D． 解一:设椭圆方程为.依题意.显然有.则.即.即.解得．选D． 解二:∵△F1PF2为等腰直角三角形.∴. ∵.∴.∴．故选D． 变式2:已知双曲线的左.右焦点分别为.点P在双曲线的右支上.且.则此双曲线的离心率e的最大值为 ． 解一:由定义知.又已知.解得..在中.由余弦定理.得.要求的最大值.即求的最小值.当时.解得．即的最大值为． 解二:设.由焦半径公式得.∵.∴.∴.∵.∴.∴的最大值为． 变式3:已知椭圆的中心为坐标原点O.焦点在轴上.斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A.B两点.与共线． (Ⅰ)求椭圆的离心率, (Ⅱ)设M为椭圆上任意一点.且.证明为定值． 解:(Ⅰ)设椭圆方程为. 则直线AB的方程为.代入.化简得 . 设A().B).则 由与共线.得 又. 即.所以. 故离心率 知.所以椭圆可化为 设.由已知得 在椭圆上. 即① 由(Ⅰ)知 又.代入①得 故为定值.定值为1.

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