9. [解] (1)，，，．

(2)四边形和四边形都是平行四边形，，，，．又，．

点是中点，．．．

又，．

8.

7.

解：(1)∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

　 ∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x．　 ……………2分

∴ =．(0＜＜4)　 ……………3分

(2)如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

　　 由(1)知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．　

∴ ，

∴ ．　 …………………5分

过M点作MQ⊥BC 于Q，则．　

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ ．

∴ ，．

∴ x＝．　

∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分

(3)随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．　

∴ ． AM＝MB＝2．　

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜≤2时，．　

∴ 当＝2时，　 ……………………………………8分

② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形，　

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN＝BM＝4－x．　

∴ ．

又△PEF ∽ △ACB．　

∴ ．

∴ ． ……………………………………………… 9分

＝．……………………10分

当2＜＜4时，．　　

∴ 当时，满足2＜＜4，．　　 ……………………11分

综上所述，当时，值最大，最大值是2． …………………………12分

6. 解：(1)，，，．

点为中点，．

，．

，

，．

(2)，．

，，

，，

即关于的函数关系式为：．

(3)存在，分三种情况：

①当时，过点作于，则．

，，

．

，，

，．

②当时，，

．

③当时，则为中垂线上的点，

于是点为的中点，

．

，

，．

综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．

5. 解:(1)∆ABE∽∆DAE,　 ∆ABE∽∆DCA

　　 ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°

　　 ∴∠BAE=∠CDA

　　 又∠B=∠C=45°

　　 ∴∆ABE∽∆DCA

　　 (2)∵∆ABE∽∆DCA

　　 ∴

　　 由依题意可知CA=BA=

　　 ∴

　　 ∴m=

　　 自变量n的取值范围为1<n<2.

　　 (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n

　　 ∵m=

∴m=n=

∵OB=OC=BC=1

∴OE=OD=－1

∴D(1－, 0)

∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2

∵BD+CE=2 BD=2(2－)=12－8, DE=(2－2)= 12－8

∴BD+CE=DE

(4)成立

证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,

∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.

连接HD,在∆EAD和∆HAD中

∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.

∴∆EAD≌∆HAD

∴DH=DE

又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°

∴BD+HB=DH

即BD+CE=DE

4. Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，

∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°

　　　　　　 ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°

　　　　　　 ∴△BDG≌△CEF(AAS)

　　 Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，

求得

　　　　　　　　　　　　　　 由△AGF∽△ABC得：

解之得：(或)

解法二：设正方形的边长为x，则

　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=，

∴

解之得：(或)

解法三：设正方形的边长为x，

则

　　　　　　　　　　 由勾股定理得：

　　　　　　　　　　 解之得：

Ⅱb.解： 正确

　　　 由已知可知，四边形GDEF为矩形

　　　　　　　　　 ∵FE∥F’E’ ，

∴，

同理，

∴

　　　　　　　　　 又∵F’E’=F’G’，

∴FE=FG

因此，矩形GDEF为正方形

3. 证明：(1)四边形和四边形都是正方形

(2)由(1)得

∴AMN∽CDN

2. (1)证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC

∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.

∵∠DAB＝∠DAF+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B

在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B

∴△DCF∽△ABC

∴，即.∴AB·AF＝CB·CD

(2)解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，

∴AC＝＝＝12，∴CF＝AF＝6

∴×6＝3x+27(x＞0)

②∵BC＝9(定值)，∴△PBC的周长最小，就是PB+PC最小.由(1)可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB+PC＝PB+PA，故只要求PB+PA最小.

显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.此时DP＝DE，PB+PA＝AB.

由(1)，∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.

EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.

∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.

Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.

∴DE＝DF+FE＝8+＝.

∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝

1. 解：(1)皮尺、标杆．

(2)测量示意图如右图所示．

(3)如图，测得标杆，树和标杆的影长分别为，．

，

．

．

．

1. 50；2. 10.5；3. 6；4. 4；5. ；6. 6；7. 4.8；8. ∠ADE=∠ACB(或∠AED=∠ABC或)9. 100；10.