5、如图,平面直角坐标系中,直线AB轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点CCD轴于点D.

(1)求直线AB的解析式;

(2)若S梯形OBCD,求点C的坐标;

(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的

三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件

的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)直线AB解析式为:y=x+

(2)方法一:设点C坐标为(x,x+),那么OD=x,CD=x+. 

由题意:,解得(舍去)

∴ C(2,)

方法二:∵ ,,∴

由OA=OB,得∠BAO=30°,AD=CD.

∴ CD×AD=.可得CD=

∴ AD=1,OD=2.∴C(2,).

(3)当∠OBP=Rt∠时,如图

    ①若△BOP∽△OBA,则∠BOP=∠BAO=30°,BP=OB=3,

(3,).

    ②若△BPO∽△OBA,则∠BPO=∠BAO=30°,OP=OB=1.

(1,).

当∠OPB=Rt∠时

③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图),此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30°

过点P作PM⊥OA于点M.

方法一: 在Rt△PBO中,BP=OB=,OP=BP=

∵ 在Rt△PMO中,∠OPM=30°,

∴ OM=OP=;PM=OM=.∴().

方法二:设P(x ,x+),得OM=x ,PM=x+

由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO.

∵tan∠POM=== ,tan∠ABO==

x+x,解得x=.此时,().

④若△POB∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°.  

    ∴ PM=OM=

∴ ()(由对称性也可得到点的坐标).

当∠OPB=Rt∠时,点P在x轴上,不符合要求.

综合得,符合条件的点有四个,分别是:

(3,),(1,),(),().

 

 0  44596  44604  44610  44614  44620  44622  44626  44632  44634  44640  44646  44650  44652  44656  44662  44664  44670  44674  44676  44680  44682  44686  44688  44690  44691  44692  44694  44695  44696  44698  44700  44704  44706  44710  44712  44716  44722  44724  44730  44734  44736  44740  44746  44752  44754  44760  44764  44766  44772  44776  44782  44790  447348 

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