18.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AA1=2
,∠ACB=90°,M是AA1的中点,N是BC1中点.
(Ⅰ)求证:MN∥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求二面角B-C1M-A的大小.
解:方法一(Ⅰ)取B1C1中点D,连结ND,A1D,
所以DN//BB1///AA1,………………1分
又,
所以四边形A1MND为平行四边形,
所以MN//A1D;…………3分
又
,
所以MN//平面A1B1C1;…………5分
(Ⅱ)三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以CC1⊥BC,
又∠ACB=90°,所以BC⊥平面ACC1A1,…………7分
在平面ACC1A1上作CE⊥C1M,交C1M于点E.
则CE为BE在平面ACC1A1上的射影,
所以∠BEC为二面角B-C1M-A的平面角.………………9分
由于△CEC1与三角形C1A1M相似,所以
所以
……………………11分
所以
……………………13分
即二面角B-C1M-A的大小为
.…………………14分
方法二(Ⅰ)如图,以点C为坐标原点,以CB所在
直线为Ox轴,CA所在直线为Oy轴,CC1所在直线
为Oz轴,建立空间直角坐标系.
由已知得
、
、
.
,
,
所以
所以
…………2分
所以MN//A1N;………………4分
又
所以MN//平面A1B1C1;…………5分
(Ⅱ)三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以CC1⊥BC,
………………7分
设垂直于平面BMC1的向量
所以
即
所以
……………………………………10分
所求二面角的大小
……………13分
即二面角B-C1M-A的大小为
…………………………14分