2005学年第二学期期中杭州地区七校联考试卷

高二年级数学学科

 

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)

1.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系有

A.相交                 B.相交或平行

C.相交或异面           D.相交或平行或异面

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2.已知垂直于正方形所在平面,则下列等式中不成立的是

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A.    B.    C.     D.

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3.已知直线与平面角,直线,若直线内的射影与直线也成角,则所成角是

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A.         B.         C.        D.

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4.下列命题是真命题的是

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A.若直线都平行于平面,则

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B.设是直二面角,若,则

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C.若直线在平面内的射影依次是一个点和一条直线,且,则内或平行;

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D.若直线是异面直线,若与平面平行,则相交。

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5.如图,在平行六面体中,的交点。若,则下列向量中与相等的向量是

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A.    B.

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C.    D.

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6.已知则以为邻边的平行四边形的面积为

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A.     B.    C.4      D.8

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7.平行六面体的六个面都是菱形,则顶点在平面上的射影一定是

A.重心          B.外心        C.内心          D.垂心

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8.正方体的棱长为是棱的中点,则点到直线的距离是

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A.     B.    C.      D.

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9. 棱锥的底面是正方形,一条侧棱垂直于底面,不通过此棱的一个侧面与底面所成的二面角为,且最长的侧棱长为,则棱锥的高为

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A.      B.      C.       D.

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10.一个四面体的某一顶点上的三条棱两两互相垂直,其长均为,且四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为

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A.           B.          C.         D.

 

 

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二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分。)

11.对空间任一点和不共线的三点之间满足向量关系式,当点共面时,则=            

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12.已知点A、B和平面的距离分别是40和70,P为线段AB内一点,且,则点P到平面的距离是               

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13.在北纬圈上有甲、乙两地,它们的经度差为,设地球半径为R,则甲、乙两地的球面距离是                

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14.是两个不同的平面,是平面之外的两条不同直线,给出四个论断:①;②;③;④,以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:                             。(注:写出一个即可。)

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15.已知每条棱长都为3的直平行六面体中,

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长为2的线段的一个端点

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运动,另一个端点在底面上运动,

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中点的轨迹与直平行六面体的面

所围成的几何体的体积为               

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三、解答题(本大题共4小题,共50分)

16.(本小题满分12分)

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在直三棱柱中,,棱分别是的中点。

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(1)求的长;

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(2)求异面直线所成角的余弦值;

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(3)求证:

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17. (本小题满分12分)

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如图,在正四棱柱中,,点为棱的中点。

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(1)证明://平面;    (2)求直线到平面的距离;

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(3)求直线与平面所成角的正弦值。

 

 

 

 

 

 

 

第17题

第18题

 

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18.(本小题满分12分)

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在如图所示的三棱锥中,和平面所成的角为

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(1)求证:平面;    (2)求三棱锥的全面积

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(3)求证:四点在同一球面上。

 

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19. (本小题满分14分)

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如图,在直角梯形中,平面,在线段上取一点(不含端点),

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使,截面交于点

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(1)求证:四边形为直角梯形;

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(2)求二面角的平面角的正切值;

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(3)设的中点为,当为何值时,

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能使?请给出证明。

 

 

 

 

 

 

 

 

2005学年第二学期期中杭州地区七校联考答案

高二年级数学学科

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

B

C

C

D

A

B

D

C

A

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二、填空题:(本题每小题4分,共20分)

11.2                 12.49或7              13. 

z

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三、解答题(本大题4小题,共50分)

解:(1)以C为原点,

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所在直线为x,y,z轴

建立空间直角坐标系C-xyz,

则B(0,1,0),N(1,0,1),

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;       4分

B

A

x

C

y

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所以,异面直线所成角的余弦值是4分

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(3)

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。   4分

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17.(本小题满分12分)    

解:(1)连结BD交AC于 O,连结EO,

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可知,又EO平面

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所以//平面;             4分

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(2)以D为原点,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

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则A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2),0(1,1,0),设平面的一个法向量为=(x,y,z),又,可得平面的一个法向量为,又,所以直线到平面的距离为。                             4分

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(3)

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所以即为直线与平面所成的角。

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,,则sin=

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所以直线与平面所成角的正弦值为。                   4分

 

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18.(本小题满分12分)

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解:(1)由已知

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为等腰直角三角形,且

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中,

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为等腰直角三角形。

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平面。   4分

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法2:以CA,CB所在直线分别为x,y轴建系则A(1,0,0),B(0,,0),

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C(0,0,0),P(1,0,1)则

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设平面PBC的法向量为,则,取

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又平面PAC的一个法向量为

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平面。                       4分

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(2)全面积。                                    4分

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(3)取PB中点O,由上可知,

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同理,

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所以四点在同一球面上。                                  4分

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19.(本小题满分14分)

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解:(1)平面

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平面

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。又平面ABCD,

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平面SAD,

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为直角梯形。                         4分

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(2)

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即为二面角的平面角。2分

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2分

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,二面角的平面角的正切值为。     2分

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法2:分别以DA,DC,DS所在直线为x,y,z轴建系,则,由上,可得,又

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2分

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设平面BEF的法向量为,则

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可得

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同理可得平面EFCD的法向量为2分

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二面角的平面角的正切值为。                           2分

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(3)当=2时,

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               4分

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法2:

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,则,即

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,所以,当=2时,有。                      4分

 

 

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