浙江省2008学年第二次五校联考

数学(理科)试题卷

 

参考公式  如果事件互斥,那么

如果事件相互独立,那么

如果事件在一次试验中发生的概率是,那么在次独立重复试验中恰好发生次的概率

锥柱的体积公式                    柱体的体积公式

                  其中表示棱柱的底面积, 表示棱柱的高

 

第Ⅰ卷(共50分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集,,则(    )

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(A)       (B)        (C)       (D)

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2.若复数是纯虚数(是虚数单位,是实数),则(    )

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(A)                     (B)                   (C)               (D)2

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3. 椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则的值为(    )

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(A)                          (B)        (C) 2     (D)4

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4.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为(    )

 

 

 

 

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(A)           (B)            (C)         (D)6  

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5.平面平面的一个充分条件是(    )

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(A) 存在一条直线,  (B) 存在一条直线,

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(C) 存在两条平行直线,  ,,

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 (D) 存在两条异面直线  ,

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6.如图,该程序运行后输出的结果为(    )

 (A)36    (B)56     (C)55    (D)45

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7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为,得2分的概率为,不得分的概率为),已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其它得分情况),则的最大值为(   )

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(A)             (B)   

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(C)            (D)

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8. 在空间四边形ABCD中,=(   )

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(A)      (B)

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(C)      (D)  

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9.已知可导函数,则当时,大小关系为(   )

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(A)  (B)   (C)  (D)

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10.用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块, 依次类推,每一层都用去了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好砖用完,那么共用去砖的块数为                                               (   )

(A)1018      (B)1020     (C)1022      (D)1024

 

第Ⅱ 卷(共100分)

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二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.

11.某校对全校男女学生共1600名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人,则该校的女生人数应是    ▲   人.

 

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12. 如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线上标注的数字表示某信息经过该段网线所需的时间(单位:毫秒).

信息由结点A传递到结点B所需的最短时间为   ▲        毫秒.

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13.设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是    ▲   .

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14.已知的展开式中的常数项为是以为周期的偶函数,且当时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是    ▲   .

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15.在等差数列中,公差是方程的两个根,是数列的前的和,那么满足条件的最大自然数    ▲   .

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16.如图给出16个点,其左和右相邻两点、上下相邻两点的距离都为1.若以这些点作为三角形的顶点,那么一共可得到    ▲   个直角三角形.  

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17.设三角形ABC的BC边上的高AD=BC,分别表示角A、B、C对应的三边,则的取值范围是    ▲  

 

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三、解答题

18. (本小题满分14分)已知向量.

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(Ⅰ)若;

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(Ⅱ)设的三边满足,且边所对应的角为,若关于的方程有且仅有一个实数根,求的值.

 

 

 

 

 

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19. (本小题满分14分)袋中有6张卡片,编号分别是1,2,3,4,5,6.现在从袋中任意抽取出3张卡片,并记号码最大的为.

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(Ⅰ)求的分布列和期望;

(Ⅱ)若3张卡片是有放回的抽取,则最大号码为4的概率是多少?

 

 

 

 

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20. (本小题满分14分)  如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.

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(Ⅰ)试证:CD平面BEF;

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(Ⅱ)设PAk?AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.

 

 

 

 

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21. (本小题满分15分)过抛物线的对称轴上的定点,作直线与抛物线相交于两点.

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(Ⅰ)试证明两点的纵坐标之积为定值;   

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(Ⅱ)若点是定直线上的任意一点,分别记直线的斜率为,试探求之间的关系,并给出证明.

 

 

 

 

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22. (本小题满分15分)设函数,其图象在点处的切线的斜率分别为

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(Ⅰ)求证:

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(Ⅱ)若函数的递增区间为,求的取值范围;

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(Ⅲ)若当时(是与无关的常数),恒有,试求的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2008学年浙江省五校第二次联考

数学(理科)答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

 

C

D

A

B

D

D

A

D

B

C

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二.填空题

11.760         12.4 .8           13.             14.

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15.4015            16.184               17.

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三.解答题

18.(Ⅰ)……………..4分

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……………..7分

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(Ⅱ), ……………..11分

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结合图象可得:……………..14分

 

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19. (Ⅰ )

 

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3

4

5

6

P

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0.05

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0.15

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0.3

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0.5

………………………………………………………………………………………….6分

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…………………………………………………….9分                                  

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(Ⅱ)…………………………………………….14分

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20.(Ⅰ) 解法一:

 

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(Ⅰ)证:由已知DF∥AB且DAD为直角,故ABFD是矩形,从而CDBF. ………..4分

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PA底面ABCD,CDAD,故知CDPD.在△PDC中,E、F分别PCCD的中点,故EFPD,从而CDEF,由此得CDBEF.   ………..7分

(Ⅱ)连结ACBFG.易知GAC的中点.连接EG,则在△PAC中易知ECPA.又因

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PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中,过CGHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角. ………..10分

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AB=a,则在△PAC中,有

 

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BG=PA=ka.

以下计算GH,考察底面的平面图(如答(19)图2).连结GD.

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SCBD=BD?GH=GB?OF.GH=.

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在△ABD中,因为AB=a,AD=2A,得BD=a          

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GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH== 因此tanEHG==………..12分

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k>0知是锐角,故要使,必须>tan=

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解之得,k的取值范围为k………..14分

解法二:

(Ⅰ)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为:轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为

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A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),

F(a,2a,0).

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从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),     

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?=0,故  .

PA=b,则P(0,0,b),而EPC中点.故         第(20)

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?=0,故.

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由此得CDBEF.

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(Ⅱ)设ExOy平面上的投影为G,过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.

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从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.

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由PA=k?AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0),则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),

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?=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a      ①

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又因=(x,a,y,0),且的方向相同,故,即2x+y=2a      ②

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由①②解得x=a,y=a,从而,||=a.

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tanEHG===.由k>0知,EHC是锐角,由EHC>得tanEHG>tan

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k的取值范围为k.

 

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21.(1)证明:.设,下证之:

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设直线的方程为:联立得

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,消去……4分

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由韦达定理得 ,……6分

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文本框:  (2)解:三条直线的斜率成等差数列,……9分

下证之:

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设点,则直线的斜率为;

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直线的斜率为

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……13分

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直线的斜率为……14分

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,即直线的斜率成等差数列. ……15分

 

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22. 解答:(1),由题意及导数的几何意义得

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             (1)

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,          (2)   ……3分

         

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,可得,即,故 ……5分

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由(1)得,代入,再由,得

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, (3)  ……6分           

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代入(2)得,即方程有实根.

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故其判别式,或,                (4)   ……7分                 

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由(3),(4)得;……8分                                   

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(2)由的判别式

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知方程有两个不等实根,设为

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又由知,为方程()的一个实根,则有根与系数的关系得

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, …10分                    

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时,,当时,

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故函数的递增区间为,由题设知

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因此,由(Ⅰ)知的取值范围为;…12分                            

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(3)由,即,即

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因为,则,整理得

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,可以看作是关于的一次函数,…13分 

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由题意对于恒成立,

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由题意,

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,因此的最小值为.  …15分  www.1010jiajiao.com

 

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