浙江省2008学年第二次五校联考
数学(理科)试题卷
参考公式 如果事件、互斥,那么.
如果事件、相互独立,那么.
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么在次独立重复试验中恰好发生次的概率.
锥柱的体积公式 柱体的体积公式
其中表示棱柱的底面积, 表示棱柱的高
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集且,,则( )
(A) (B) (C) (D)
2.若复数是纯虚数(是虚数单位,是实数),则( )
(A) (B) (C) (D)2
3. 椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则的值为( )
(A) (B) (C) 2 (D)4
4.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为( )
(A) (B) (C) (D)6
5.平面平面的一个充分条件是( )
(A) 存在一条直线, , (B) 存在一条直线, ,
(C) 存在两条平行直线, ,,
(D) 存在两条异面直线, ,,
6.如图,该程序运行后输出的结果为( )
(A)36 (B)56 (C)55 (D)45
7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为,得2分的概率为,不得分的概率为(、、),已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其它得分情况),则的最大值为( )
(A) (B)
(C) (D)
8. 在空间四边形ABCD中,则=( )
(A) (B)
(C) (D)
9.已知可导函数,则当时,大小关系为( )
(A) (B) (C) (D)
10.用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块, 依次类推,每一层都用去了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好砖用完,那么共用去砖的块数为 ( )
(A)1018 (B)1020 (C)1022 (D)1024
第Ⅱ 卷(共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.某校对全校男女学生共1600名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人,则该校的女生人数应是 ▲ 人.
12. 如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线上标注的数字表示某信息经过该段网线所需的时间(单位:毫秒).
信息由结点A传递到结点B所需的最短时间为 ▲ 毫秒.
13.设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是 ▲ .
14.已知的展开式中的常数项为,是以为周期的偶函数,且当时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是 ▲ .
15.在等差数列中,公差、是方程的两个根,是数列的前的和,那么满足条件的最大自然数 ▲ .
16.如图给出16个点,其左和右相邻两点、上下相邻两点的距离都为1.若以这些点作为三角形的顶点,那么一共可得到 ▲ 个直角三角形.
17.设三角形ABC的BC边上的高AD=BC,分别表示角A、B、C对应的三边,则的取值范围是 ▲ .
三、解答题
18. (本小题满分14分)已知向量.
(Ⅰ)若求;
(Ⅱ)设的三边满足,且边所对应的角为,若关于的方程有且仅有一个实数根,求的值.
19. (本小题满分14分)袋中有6张卡片,编号分别是1,2,3,4,5,6.现在从袋中任意抽取出3张卡片,并记号码最大的为.
(Ⅰ)求的分布列和期望;
(Ⅱ)若3张卡片是有放回的抽取,则最大号码为4的概率是多少?
20. (本小题满分14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.
(Ⅰ)试证:CD平面BEF;
(Ⅱ)设PA=k?AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
21. (本小题满分15分)过抛物线的对称轴上的定点,作直线与抛物线相交于两点.
(Ⅰ)试证明两点的纵坐标之积为定值;
(Ⅱ)若点是定直线上的任意一点,分别记直线的斜率为,试探求之间的关系,并给出证明.
22. (本小题满分15分)设函数,其图象在点处的切线的斜率分别为.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若函数的递增区间为,求的取值范围;
(Ⅲ)若当时(是与无关的常数),恒有,试求的最小值.
2008学年浙江省五校第二次联考
数学(理科)答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
D
D
A
D
B
C
二.填空题
11.760 12.4 .8 13. 14.
15.4015 16.184 17.
三.解答题
18.(Ⅰ)……………..4分
……………..7分
(Ⅱ), ……………..11分
结合图象可得:……………..14分
19. (Ⅰ )
3
4
5
6
P
0.05
0.15
0.3
0.5
………………………………………………………………………………………….6分
…………………………………………………….9分
(Ⅱ)…………………………………………….14分
20.(Ⅰ) 解法一:
(Ⅰ)证:由已知DF∥AB且DAD为直角,故ABFD是矩形,从而CDBF. ………..4分
又PA底面ABCD,CDAD,故知CDPD.在△PDC中,E、F分别PC、CD的中点,故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. ………..7分
(Ⅱ)连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中,过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角. ………..10分
设AB=a,则在△PAC中,有
BG=PA=ka.
以下计算GH,考察底面的平面图(如答(19)图2).连结GD.
因S△CBD=BD?GH=GB?OF.故GH=.
在△ABD中,因为AB=a,AD=2A,得BD=a
而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH== =因此tanEHG==………..12分
由k>0知是锐角,故要使>,必须>tan=
解之得,k的取值范围为k>………..14分
解法二:
(Ⅰ)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为:轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
F(a,2a,0).
从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),
?=0,故 .
设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 第(20)
?=0,故.
由此得CD面BEF.
(Ⅱ)设E在xOy平面上的投影为G,过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.
从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA=k?AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0),则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),
由?=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a ①
又因=(x,a,y,0),且与的方向相同,故=,即2x+y=2a ②
由①②解得x=a,y=a,从而=,||=a.
tanEHG===.由k>0知,EHC是锐角,由EHC>得tanEHG>tan即
>故k的取值范围为k>.
21.(1)证明:.设 有,下证之:
设直线的方程为:与联立得
,消去得……4分
由韦达定理得 ,……6分
(2)解:三条直线的斜率成等差数列,……9分
下证之:
设点,则直线的斜率为;
直线的斜率为
……13分
又直线的斜率为……14分
,即直线的斜率成等差数列. ……15分
22. 解答:(1),由题意及导数的几何意义得
, (1)
, (2) ……3分
又,可得,即,故 ……5分
由(1)得,代入,再由,得
, (3) ……6分
将代入(2)得,即方程有实根.
故其判别式得,或, (4) ……7分
由(3),(4)得;……8分
(2)由的判别式,
知方程有两个不等实根,设为,
又由知,为方程()的一个实根,则有根与系数的关系得
, …10分
当或时,,当时,,
故函数的递增区间为,由题设知,
因此,由(Ⅰ)知得的取值范围为;…12分
(3)由,即,即,
因为,则,整理得,
设,可以看作是关于的一次函数,…13分
由题意对于恒成立,
故 即得或,
由题意,,
故,因此的最小值为. …15分 www.1010jiajiao.com