1．复数等于(      )

A.8                       B.－8                  C.8i                           D.－8i             

【答案】D

【解析】由,易知D正确.

2．“成立”是“成立”的(      )

A．充分不必要条件                       B.必要不充分条件             

C．充分必要条件                 D.既不充分也不必要条件  

【答案】B

【解析】由得，由得，所以易知选B.

3.已知变量x、y满足条件则的最大值是(     )

A.2           B.5                C.6                D.8 

【答案】C

【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点

分别为代入验证知在点

时,最大值是

故选C.

4.设随机变量服从正态分布,若,则c= (      )

A.1                B.2                    C.3                       D.4 

【答案】B

【解析】

        解得=2, 所以选B.

5.设有直线m、n和平面、,下列四个命题中，正确的是(      )

A.若m∥,n∥,则m∥n

B.若m,n,m∥,n∥,则∥

C.若，m,则m

D.若，m，m,则m∥ 

【答案】D

【解析】由立几知识,易知D正确.

6.函数在区间上的最大值是(      )

A.1                B.             C.                D.1+

【答案】C

【解析】由,

故选C.

7.设D­、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且

则与(      )

A.反向平行                                              B.同向平行                 

C.互相垂直                                              D.既不平行也不垂直                 

【答案】A

【解析】由定比分点的向量式得:

以上三式相加得

所以选A.

8.若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离

大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是(      )

A.(1,2)           B.(2,+)         C.(1,5)         D. (5,+)    

【答案】B

【解析】或

(舍去),故选B.

9.长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA₁=1,

则顶点A、B间的球面距离是(      )

A.2              B.         C.         D.

【答案】C

【解析】设

则

故选C.

10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［］=1）,对于给定的nN^*,

定义x,则当x时，函数的

值域是(      )

A.                                             B.

C.                              D.

【答案】D 

【解析】当x时，当时， 所以;

当时，当时， 

故函数的值域是.选D.

11..

【答案】 

【解析】

12.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=

过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于           .

【答案】 

【解析】

13.设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),

则函数的图象一定过点      .

【答案】(-1,2)

【解析】由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点 则其反函数过点所以函数的图象一定过点

14.已知函数

（1）若a＞0,则的定义域是           ;

(2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是             .

【答案】 ,

【解析】（1）当a＞0时，由得,所以的定义域是;

        (2) 当a＞1时，由题意知;当0<a<1时，为增函数,不合;

           当a<0时，在区间上是减函数.故填.

15.对有n(n≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体

和 (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从

每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样

本中的概率，则=          ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于           .

【答案】   ,  6

【解析】第二空可分:

①当 时, ;

②当 时, ;

③当时, ;

所以    也可用特殊值法或i和j同时出现6次.

16.（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试

合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;

（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.

解:  用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，

且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.

              ＝

              ＝

              =

              =

所以， 的分布列是

0

1

2

3

P

的期望

17.（本小题满分12分）

    如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，

E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

   （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

解: 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，

△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,

所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以

PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.

过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知

平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，

所以，AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.

则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，

PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

解法二: 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关

各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），

P（0，0，2）,

（Ⅰ）因为，

平面PAB的一个法向量是，

所以共线.从而BE⊥平面PAB.

又因为平面PBE，

故平面PBE⊥平面PAB.

   (Ⅱ)易知  

       设是平面PBE的一个法向量，则由得

所以

      设是平面PAD的一个法向量，则由得

所以故可取

      于是，

      故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

18.（本小题满分12分）

   数列

   (Ⅰ)求并求数列的通项公式；

   (Ⅱ)设证明：当

   解:  (Ⅰ)因为所以

一般地，当时，

＝，即

所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此

当时，

所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此

故数列的通项公式为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，      ①

     ②

   ①-②得，

   所以

   要证明当时，成立，只需证明当时，成立.

   证法一

   (1)当n = 6时，成立.

   (2)假设当时不等式成立，即

   则当n=k+1时，

   由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，

   证法二

   令，则

   所以当时，.因此当时，

于是当时，

综上所述，当时，

19.（本小题满分13分）

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.

（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断

它是否会进入警戒水域，并说明理由.

解:  （I）如图，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行驶速度为（海里/小时）.

（II）解法一   如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

设点B、C的坐标分别是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,

BC与x轴的交点为D.

由题设有，x₁=y₁= AB=40,

x₂=ACcos,

y₂=ACsin

所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.

又点E（0，-55）到直线l的距离d=

所以船会进入警戒水域.

解法二:  如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.

在△ABC中，由余弦定理得，

==.

从而

在中，由正弦定理得，

AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.

过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt中，PE=QE?sin

=

所以船会进入警戒水域.

20.（本小题满分13分）

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与

x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）

存在无穷多条“相关弦”.给定x₀>2.

（I）证明：点P（x₀,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；

(II) 试问：点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，请说明理由.

解: （I）设AB为点P（x₀,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是

（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁x₂）,则y²₁=4x_1, y²₂=4x₂,

两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）.因为x₁x₂,所以y₁+y₂0.

设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x_m, y_m）,则

k=.从而AB的垂直平分线l的方程为

又点P（x₀,0）在直线上，所以

而于是故点P（x₀,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x₀-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，

整理得     （?）

则是方程（?）的两个实根，且

设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

因为0<<4x_m=4(x_m-2) =4x₀-8,于是设t=,则t(0,4x₀-8).

记l²=g(t)=-[t-2(x₀-3)]²+4(x₀-1)^2.

若x₀>3,则2(x₀-3) (0, 4x₀-8),所以当t=2(x₀-3),即=2(x₀-3)时,

l有最大值2(x₀-1).

若2<x₀<3,则2(x₀-3)0,g(t)在区间（0，4 x₀-8）上是减函数，

所以0<l²<16(x₀-2),l不存在最大值.

综上所述，当x₀>3时，点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值

为2（x₀-1）；当2< x₀3时，点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.

21.（本小题满分13分）

已知函数 

(I)  求函数的单调区间;

（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.

求a的最大值.

解: （Ⅰ）函数的定义域是，

设则

令则

当时，  在（-1，0）上为增函数，

当x＞0时，在上为减函数.

所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，

函数g(x)在上为减函数.

于是当时，

当x＞0时，

所以，当时，在（-1，0）上为增函数.

当x＞0时，在上为减函数.

故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.

（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，

  设则

由（Ⅰ）知，即

所以于是G(x)在上为减函数.

故函数G（x）在上的最小值为

所以a的最大值为