2、平面上一个点是否必须由横纵坐标来刻画？由这个例子说明什么问题？（未必，可以由一个距离和一个方向来确定一个点的位置）

  3、能否将之抽象出来，得到另一种确定点位置的方法呢？（引入标题：平面极坐标的意义）

二、相关定义

  1、一般地：平面上任意取一点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个长度单位和计算角的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。其中O称极点，射线OX称极轴。

  2、点的位置，每个有序实数对(ρ,θ)决定一个点的位置，ρ称点M的极径，θ点M的极角。

  3、极点O的极径为0，极角任意

   4、点M与极坐标一一对应吗？具体是什么情况？什么情况下一一对应？（不一一对应；由点的极坐标唯一确定点的位置，但由点的位置不能唯一确定极坐标；在ρ>0，0≤θ<2π情况下与非极点的点一一对应）不作特殊说明，要求写出这个范围内的一个点的极坐标即可

   例1、教材P14----5写点的极坐标

   思考：1、一般地，ρ可以为负的情况下，点(ρ,θ)还可以表示成什么形式？(（ρ,2kπ+θ）或（-ρ,(2k+1)π+θ）k∈Z)

  2、与点(ρ,θ)表示同一个点的坐标形式是什么？((-1)ⁿρ，θ+nπ)n∈Z)

   例2、在极坐标系中，已知点P(5,),Q(1,)，求线段PQ的长度

   解：PQ共线，PQ=5+1=6

   练习1：一般地，P(ρ₁,θ₁)与Q(ρ₂,θ₂)，则PQ=______

练习2：点M(ρ，)在ρ>0及ρ为实数时分别代表什么图形？

例3、在平面极坐标系下，已知点Q(ρ,θ)求下列条件下点P的极坐标

(1)P、Q关于极点O对称；(2)P、Q关于θ=（ρ∈R）对称；(3)P、Q关于θ=α（ρ∈R）对称

[答案](1)(-ρ,θ)     (2) ((-1)ⁿρ，-θ+(n+1)π) n∈Z  

 (3) ((-1)ⁿρ，2α-θ+nπ) n∈Z

说明：不申明时，要写出全部的坐标，方法是先写出一个，再扩展为全部者

五、作业：教材14―15页习题1，3，4，8，9，10，11

[情况反馈]

第二课时   平面极坐标与直角坐标的互化

[教学目标]

[教学难点、重点]极直互化

[教学过程]

一、学生活动与背景引入

1、如图，一个点在斜坐标系下的坐标(x,y)是过这点分别作两条坐标轴的平行线，它们分别与两坐标轴交点所表示的数组成的有序实数对。

试在x轴正向到y轴正向的角为60⁰的斜坐标系中，作出三点A(-,2),B(3,2),C(,2),并求出AB和AC的长度（教材P14----2）

解：设、方向上的单位向量分别为、，则=||||cos(,)=,=4,

AB=4,=2+(2-2),AC==2

说明：斜坐标系求值

2、思考：平面极坐标系与平面直角坐标如何转化？（引入主题……）

二、新课内容：

1、对于一个极坐标系，与直角坐标转化必须有前提条件，想一想，有什么前提条件？（极点与原点重合，极轴与x轴的正方向与长度单位一致）

2、在1的条件下，一个点的极坐标为（ρ,θ）,其直角坐标为(x,y),它们之间有什么关系？

    ，通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，我们限定ρ≥0，0≤θ<2π

   例1、(1)点M、P的极坐标分别为（8，）、(2,)时，它们的直角坐标为______、_______

(2)点M、P、Q的直角坐标为(,-)、(0,-2)、(-2,3)，它们的极坐标分别为_________、________、__________

解答：(1)(-4,4),(0,2)     (2)(2,),(2,),(,π-arctan)

例2、在直角坐标系中，P(2,2),Q(4,-4),R(6,0)

(1)求P、Q、R三点的极坐标；(2)求三角形PQR的面积S

解：(1)P(4,),Q(4,),R(6,0)

(2)作出图形，S=S_△PQR+S_△QOR+S_△POQ=……=14-4

[补充习题]1、在直角坐标喜中，已知两点P(-1,),Q(-2,-2),O为原点

(1)将两点的直角坐标化为极坐标   (2)求三角形POQ的面积

2、在教成α的斜坐标系中，两点坐标为P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)求PQ

   [补充习题答案]

1、(1)P(2,),Q(2,)       (2)1+

2、PQ=

[情况反馈]

第三课时   球坐标系与柱坐标系

[教学目标]

[教学难点、重点]球柱坐标系

[教学过程]

一、引入

自学指导：看书10―13页，说明以下两个问题

（1）说出球坐标系中点P(r,θ,φ)各字母的意义。它与空间直角坐标有何关系？

（2）说出柱坐标系中点P(r,θ,z)各字母的意义。它与空间直角坐标有何关系？

课件播放：

(1)卫星（地球上一点）的确定→球坐标系及点的坐标→与空间直角坐标的关系

(2)飞车走壁→柱坐标系→与空间直角坐标的关系

例1、建立适当的坐标系，表示棱长为1的正方体各顶点的坐标

（思路一：空间直角坐标系；思路二，球坐标系）

变形1：设DA=a,DC=b,DD₁=c时，写出各顶点的球坐标

变形2：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都为1，建立如图所示的球坐标系

(1)写出各顶点的球面坐标    (2)将各顶点的球面坐标就原坐标轴，写出其右手直角坐标

例2、柱坐标系中点(r,θ,z),满足r=2的点的构成的图形是什么？（教材P13---例4）

练习：一只蚂蚁沿着半径为1的圆柱面螺旋式上升，设直角坐标系的z轴即此圆柱的轴，此蚂蚁在z轴方向匀速上升的速度为v>0，匀速绕z轴转动的角速度为ω>0，求t时刻蚂蚁所在的点的直角坐标和柱坐标。

解：如图从A(1,0,0)开始，点M(x,y,z),则,M的直角坐标为

M(cosωt,sinωt,vt)，其柱坐标为(1,ωt,vt)

2、这样坐标含有了，用坐标解决几何问题的方法称坐标法

[补充习题]

1、在球坐标系中，方程表示________________

2、求球坐标系中两点P(3,,),Q(3,,)的距离

[答案]

1、以O为顶点，3为母线长，底面直径为3的圆锥

2、

[情况反馈]