第二讲 函数图象
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2．客车从甲地以
与时间
之间关系的图象中，正确的是（ C ）
 |
3．函数
的图象和函数
的图象的交点个数是（ B ）
A．4 B．
4．若函数
的图象按向量
平移后，得到函数
的图象，则向量
（ A ）
A．
B．
C．
D．
5．若函数
的反函数为
，则函数
与
的图象可能是（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为
（
为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 ；
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到
毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
6．
；0.6
★★★高考要考什么
一、奇函数（
的图象关于原点对称；偶函数（
图象关于
轴对称。
引申：若
，则
的图象关于点（1,0）对称；
若
，则的图象关于直线
对称；
若
是奇函数，则
关于点（1,0）对称；
若是偶函数，则关于直线对称；
区别：与
的图象关于
轴对称；
与
的图象关于
轴对称；
与
的图象关于轴对称；
二、翻折变换：
和
图象间的关系____ ；
和
图象间的关系_____ ；
如：作出：
与
的图象
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】 定义域和值域均为
（常数
）的函数
和
的图像如图所示，给出下列四个命题：
（1）方程
有且仅有三个解；
（2）方程
有且仅有三个解；
（3）方程
有且仅有九个解；
（4）方程
有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是 （1）、（4） 。
变式：函数
的图象与它的反函数图象所围成的面积是
【范例2】 设曲线C的方程是
，将C沿
轴正向分别平移
单位长度后得曲线
；（1）写出曲线的方程；（2）证明曲线
与曲线关于点
对称；（3）如果曲线与曲线有且仅有一个公共点，证明
。
解：（1）曲线C1的方程为 y=(x-t)3 
(x-t)+s
（2）证明：在曲线C上任取一点B1(x1,y1)。。设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点，则有
代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：
可知点B2(x2,y2)在曲线C1上。
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的 点关于点A的对称点在曲线C上。因此，曲线C与C1关于点A对称。
（Ⅲ）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组
有且仅有一组解。消去y，整理得 
这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根。所以t≠0并且其根的判别式
变式：已知函数的图象与函数
的图象关于点A（0，1）对称.（1）求的解析式；（2）若
且
在
上为减函数，求实数
的取值范围.
解：（1）设点M
是函数任意点，点M关于A（0，1）的对称点为P
，
则
，代入得：
。
（2）设
则
恒成立，
恒成立，
【范例3】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12。
（I）求f(x)的解析式；
（II）是否存在实数m使得方程
在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
解：（I）
是二次函数，且
的解集是
可设
\ f(x)在区间
上的最大值是
由已知，得
（II）方程等价于方程
设
则
当
时，
是减函数；
当
时，
是增函数。
方程
在区间
内分别有惟一实数根，而在区间
内没有实数根，
所以存在惟一的自然数
使得方程在区间
内有且只有两个不同的实数根。
变式：设f(x)＝l―2x2，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝则F(x)的最大值为__________．