已知中心在坐标原点，坐标轴为对称轴的椭圆C和等轴双曲线C₁，点(

5

，-1)在曲线C₁上，椭圆C的焦点是双曲线C₁的顶点，且椭圆C与y轴正半轴的交点M到直线x-

3

y-2=0的距离为4．
（Ⅰ）求双曲线C₁和椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线x=2与椭圆C相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的两动点，若直线AB的斜率为

1

2

，求四边形APBQ面积的最大值．

已知点P是圆x²+y²=1上任意一点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，点R满足

RQ

=

3

PQ

，记点R的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设A（0，1），点M、N在曲线C上，且直线AM与直线AN的斜率之积为

2

3

，求△AMN的面积的最大值．

在平面直角坐标系xoy中，曲线C：

1

4

x2+x+y2-2y=-1，按伸缩变换?：

x′=x+2 y′=y-1

得曲线C₁；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知射线θ=

π

3

与曲线C₂交于点D(1，

π

3

)．
（I）求曲线C₁，C₂的方程；
（II）若点A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)在曲线C₁上，求

1

ρ12

+

1

ρ22

的值．