专题十：数列的极限与函数的导数
瓶窑中学 童国才
【考点审视】
极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：
（1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限：
1)
是常数）,2)
,3)
.
(2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。
（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。
（4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。
（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。
（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。
【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对
、
、
、
型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14）
=
【分析】这是型，需因式分解将分母中的零因子消去，故
=
=
。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：
（2004年广东,4）
…+
)的值为…（ ）
（
）-1
（
）0
（
）
（
）1
【分析】这是求无穷项的和，应先求前
项的和再求极限
=
，∴原式=
=-1，故选
。
3，无穷等比数列的公比
，当||
1时，各项的和
及重要应用。例如（2004年上海，4）设等比数列
（
）的公比
，且
=
，则
【分析】数列
是首项为
，公比是
的等比数列，∴=
=，解得=2。
4，当且仅当
时，
，
时
可有定义也可无定义。例如下列命题正确的是……………………………………………( )
()若
,则
，
若
,则
，
若
,则
， (D)若
,则
。
【分析】()中
无定义，（）中
无定义，而(D) 
，
，故是正确的。
5，函数在处连续是指
，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。
6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如
在（
，）处的导数存在吗？为什么？
【分析】
，
∴在（，）处的导数不存在。
7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。
【经典题例】
【例１】求下列数列的极限：
（１）
；（２）
（
）；
（３）
；
（４）已知
，数列{
}满足
，若{}的极限存在且大于零，求
的值。
【例２】求下列函数的极限：
（1）
（2）
（3）
（4）
【例３】求下列函数的导函数：
（１）
＝
； （２）＝
；
（３）＝
； （４）已知＝
，求
。
【例４】设
（
），
（
+
）。（Ⅰ）用和
表示
；（Ⅱ）当
时，
求
的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求
的取值范围。
【例５】过点（2，0），求与曲线
相切的直线方程。
【例６】（2004全国卷二，22）已知函数
，
。
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）设
，证明
。
【例７】（2004广东卷，21）设函数=
，其中常数
为整数。
（Ⅰ）当为何值时，
；
（Ⅱ）定理：若函数
在[
]上连续，且
与
异号，则至少存在一点
使
。试用上述定理证明：当整数
时，方程=0，在[
]内有两个实根。
【例８】溶液自深18
，顶直径12的圆锥形漏斗中漏入一直径为10的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满水，已知当溶液在漏斗中之深为12时，其水平下落的速度为1ㄍ
，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？
【热身冲刺】
一、选择题：
1、下列数列极限为1的是…………………………………………………………（
）
；
；
；
。
2、已知
，则常数
的值为…………………………………（ ）
（
）
；
3、
]的值是………………………………………………（ ）
不存在；
4、若
在点
处连续，则
（ ）
5、若
为偶函数，且
存在，则
……………………（ ）
（
）0
1
-1；
6、设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象最有可能的是…………………………………………………………………（ ）
 |
|||
 |
|||
(A) (B) (C) (D)
7、函数
有极值的充要条件是……………………………（ ）
（）
（
）
8、(2004江苏卷，10)函数
在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是………………………………………………………………………………（ ）
（A）1,-1 （B）1,-17 （C）3,-17 （D）9,-19
9、、
分别是定义
上的奇函数和偶函数。当
时，
，且
，则不等式
的解集是（ ）
（）（-3，0）
（3，
）
（
）
10、三次函数=
在[1，2]内恒为正值的充要条件为………… （
）
（）
；
二、填空题：
11、曲线
与
在交点处的切线夹角是
（以弧度数作答）；
12、
，则
；
13、已知是
的一个三次多项式，若
=
=1，
则
=
14、如图，
是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为
的半圆后得图形
，然后剪去更小的半圆（其直径为前一被剪掉半圆的半径）得图形
，
，……，
，……，记纸板的面积为
，则
=
三、解答题：
15、已知函数在定义域上可导，设点
是函数
的图象上距离原点0最近的点。
（Ⅰ）若点的坐标为
，求证：
=0；
（Ⅱ）若函数的图象不经过坐标原点0，证明直线
与函数的图象上过点的切线互相垂直。
16、证明：（1）当
时，
；
（2）当
，
时，
。
17、已知函数
在
处取得极值。
（Ⅰ）讨论
和
是函数的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点
作曲线的切线，求此切线方程。
18、已知函数
，将满足
的所有正数从小到大排成数列{
}
（Ⅰ）证明：数列{
}为等比数列；
（Ⅱ）记
是数列{
}的前
项和，求
19、是定义在[0，1]上的增函数，
且在每个区间
上，的图象都是斜率为同一常数
的直线的一部分。
（Ⅰ）求
及
的值，并归纳出
的表达式。
（Ⅱ）设直线
、
、轴及的图象围成的梯形的面积为
20、已知函数
（Ⅰ）求函数的反函数
及的导数；
（Ⅱ）假设对任意
，不等式|
|+
成立，求实数
的取值范围。