2007届广东省韶关市高三摸底考试数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
参考公式： 
, 其中
是锥体的底面积，
是锥体的高.
一、选择题（共10小题，每题5分）
1.已知复数
，
，则在
复平面上对应的点位于（
）
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
2.有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
3.已知命题
，命题
的解集是
，下列结论：
①命题“
”是真命题； ②命题“
”是假命题；
③命题“
”是真命题； ④命题“
”是假命题
其中正确的是（ ）
(A)②③ (B)①②④ (C)①③④ (D)①②③④
4.已知
，则
（ ）
(A)2 (B)－2 (C)0 (D)
5.
有解的区域是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
6.已知向量
，
，若向量
，则
（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)2
7.已知两点
，点
是圆
上任意一点，则
面积的最小值是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
8. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对
、
两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数
与残差平方和
如下表：
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
115
106
124
103
则哪位同学的试验结果体现、两变量更强的线性相关性？（ ）
甲
乙
丙 
丁
9.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（
）
(A)1 (B)
(C) (D)
10.已知抛物线
，过点
)作倾斜角为
的直线
，若与抛物线交于
、两点，弦
的中垂线交
轴于点
，则线段
的长为（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题（共4小题，每小题5分）
11.已知集合
，使
的集合B的个数是_________．
12.在约束条件
下，目标函数
的最大值为_____________.
13.在中，若
，则的外接圆半径
，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体
中，若
两两垂直，
，则四面体的外接球半径
____________．
14.在如下程序框图中，输入
，则输出的是__________.
三、解答题（共6小题，共80分）
15.(本题满分12分)在中，
是三角形的三内角，
是三内角对应的三边，已知
．
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
，求角的大小．
16.(本题满分12分)已知
，
．
（Ⅰ）当
时，求证：
在
上是减函数；
（Ⅱ）如果对
不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
17.(本题满分14分)如图所示，在棱长为2的正方体
中，
、
分别为
、
的中点．
（Ⅰ）求证：
//平面
；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积．
18.(本题满分14分)某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
（Ⅰ）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；
（Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．
19.(本题满分14分)观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：
（Ⅰ）求第六行的第一个数．
（Ⅱ）求第20行的第一个数．
（Ⅲ）求第20行的所有数的和．
20.(本题满分14分)如图，在直角梯形
中，
，
，
，椭圆以、为焦点且经过点
．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点满足
,问是否存在直线
与椭圆交于
两点，且
？若存在，求出直线 与
夹角
的正切值的取值范围；若不存在，请说明理由．
2007届广东省韶关市高三摸底考试数学(文)试题
答案及评分标准
DCDBB DADDA
题号
11
12
13
14
答案
8
2
二、填空题
三、解答题
15.解：（Ⅰ）在中，
且 
，
…………6分
（Ⅱ）由正弦定理，又，故
…………8分
即：
故是以
为直角的直角三角形……………10分
又∵
， ∴
…………………………12分
16.解：（Ⅰ）当时，
……………1分
∵
………………2分
……………3分
∴在上是减函数 …………4分
（Ⅱ）∵不等式恒成立
即不等式
恒成立
∴不等式
恒成立 …………………6分
当
时， 
不恒成立 ……………7分
当
时，不等式恒成立 ……………8分
即
∴
…………………10分
当
时，不等式不恒成立… … …… 11分
综上所述，的取值范围是
… … … …12分
17.证明：（Ⅰ）连结
，在
中，、分别为
，的中点，则
……………4分
（Ⅱ）
…………9分
（Ⅲ）
且 
，
………10分
∴
即
…………………12分
=
=
………………14分
18.解：（Ⅰ）设该厂应隔
天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为
…1分
∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少200×0.03=6（元），
∴天饲料的保管与其它费用共是
………………4分
从而有
…………5分
………………7分
当且仅当
，即
时，有最小值………………8分
即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.
（Ⅱ）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔天(
)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为
，则
……………10分
∵
∴当时，
，即函数在
上是增函数…………12分
∴当
时，取得最小值为
，而
……………13分
∴该厂应接受此优惠条件 ……………14分
19.解：（Ⅰ）第六行的第一个数为31 ……………2分
（Ⅱ）∵第
行的最后一个数是
，第行共有个数，且这些数构成一个等差数列，设第行的第一个数是
……………5分
∴
……………7分
∴
…………9分
∴第20行的第一个数为381 ……………10分
（Ⅲ）第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数
设第20行的所有数的和为
………………12分
则
……………14分
20.解：（Ⅰ）如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为
轴建立直角坐标系
则
，
，
，
………2分
设椭圆方程为
则
解得
………………4分
∴所求椭圆方程为
…………………5分
（Ⅱ）由
得点的坐标为
显然直线 与轴平行时满足题意，即
…………6分
直线 与轴垂直时不满足题意
不妨设直线 
……………7分
由
得 
………9分
由 
得 
………10分
设
，
,
的中点为
则
，
………11分
∵
∴
∴
即 
解得：
………………12分
由 
得 
且 
…………13分
故直线 与夹角的正切值的取值范围是
……………14分