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6.(人教A版选修1-1,2-1第66页例4)
斜率为1的直线经过抛物线
的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
变式1:如果,
,…,
是抛物线
上的点,它们的横坐标依次为
,
,…,
,F是抛物线的焦点,若
,则
___.
解:根据抛物线的定义,可知(
,2,……,8),
∴.
变式2(2004年湖南卷理):设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点
使
,组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为 .
解:设,则
,于是
,即
,由于
,
,故
,又
,故
.
变式3(2006年重庆卷文):如图,对每个正整数
,
是抛物线
上的点,过焦点
的直线
交抛物线于另一点
.
(Ⅰ)试证:;
(Ⅱ)取,并记
为抛物线上分别以
与
为切点的两条切线的交点.试证:
.
证明:(Ⅰ)对任意固定的,因为焦点
,所以可设直线
的方程为
,将它与抛物线方程
联立,
得,由一元二次方程根与系数的关系得
.
(Ⅱ)对任意固定的,利用导数知识易得抛物线
在
处的切线的斜率
,故
在
处的切线方程为
, ①
类似地,可求得在
处的切线方程为
,
②
由②减去①得,
从而,
,
, ③
将③代入①并注意到得交点
的坐标为
.
由两点间距离公式,得
=.从而
.
现在,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得,
…
…
=.