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    6.(人教A版选修1-1,2-1第66页例4)

       斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于AB两点,求线段AB的长.

    变式1:如果,…,是抛物线上的点,它们的横坐标依次为,…,F是抛物线的焦点,若,则___.

    解:根据抛物线的定义,可知(,2,……,8),

    变式2(2004年湖南卷理):设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点使,组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为     

       解:设,则,于是,即,由于,故,又,故

    变式3(2006年重庆卷文):如图,对每个正整数是抛物线上的点,过焦点的直线交抛物线于另一点

    (Ⅰ)试证:

    (Ⅱ)取,并记为抛物线上分别以为切点的两条切线的交点.试证:

    证明:(Ⅰ)对任意固定的,因为焦点,所以可设直线的方程为,将它与抛物线方程联立,

    ,由一元二次方程根与系数的关系得

    (Ⅱ)对任意固定的,利用导数知识易得抛物线处的切线的斜率,故处的切线方程为,      ①

       类似地,可求得处的切线方程为,   ②

       由②减去①得

    从而,  ,  ③

    将③代入①并注意到得交点的坐标为.

    由两点间距离公式,得

    =.从而.

    现在,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得,

    =.

  • 题目来源:08高考数学圆锥曲线与方程变式试题 命题人:广州市教育局教研室  曾辛金

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