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    2.(人教A版选修1-1,2-1第40页练习第3题)

    已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线A B,交椭圆于AB两点,是椭圆的左焦点.

    (1)求的周长;

    (2)如果AB不垂直于x轴,的周长有变化吗?为什么?

    变式1(2005年全国卷Ⅲ):设椭圆的两个焦点分别为F1F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是

    A.       B.     C.  D.

    解一:设椭圆方程为,依题意,显然有,则,即,即,解得.选D.

    解二:∵△F1PF2为等腰直角三角形,∴.

    ,∴,∴.故选D.

    变式2:已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为     

    解一:由定义知,又已知,解得,在中,由余弦定理,得,要求的最大值,即求的最小值,当时,解得.即的最大值为

    解二:设,由焦半径公式得,∵,∴,∴,∵,∴,∴的最大值为

    变式3(2005年全国卷Ⅰ):已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于AB两点,共线.

    (Ⅰ)求椭圆的离心率;

    (Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值.

    解:(Ⅰ)设椭圆方程为

    则直线AB的方程为,代入,化简得

    .

    A(),B),则

    共线,得

    ,所以

    故离心率

    (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,所以椭圆可化为

    ,由已知得

     在椭圆上,

    由(Ⅰ)知

    ,代入①得

    为定值,定值为1.

  • 题目来源:08高考数学圆锥曲线与方程变式试题 命题人:广州市教育局教研室  曾辛金

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