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2.(人教A版选修1-1,2-1第40页练习第3题)
已知经过椭圆的右焦点
作垂直于x轴的直线A B,交椭圆于A,B两点,
是椭圆的左焦点.
(1)求的周长;
(2)如果AB不垂直于x轴,的周长有变化吗?为什么?
变式1(2005年全国卷Ⅲ):设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是
A.
B.
C.
D.
解一:设椭圆方程为,依题意,显然有
,则
,即
,即
,解得
.选D.
解二:∵△F1PF2为等腰直角三角形,∴.
∵,∴
,∴
.故选D.
变式2:已知双曲线的左,右焦点分别为
,点P在双曲线的右支上,且
,则此双曲线的离心率e的最大值为
.
解一:由定义知,又已知
,解得
,
,在
中,由余弦定理,得
,要求
的最大值,即求
的最小值,当
时,解得
.即
的最大值为
.
解二:设,由焦半径公式得
,∵
,∴
,∴
,∵
,∴
,∴
的最大值为
.
变式3(2005年全国卷Ⅰ):已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,
与
共线.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且,证明
为定值.
解:(Ⅰ)设椭圆方程为,
则直线AB的方程为,代入
,化简得
.
设A(),B
),则
由与
共线,得
又
,
即,所以
,
故离心率
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,所以椭圆
可化为
设,由已知得
在椭圆上,
即①
由(Ⅰ)知
又,代入①得
故为定值,定值为1.