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4．(人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1B组第3题)

　　 如图，矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．请证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N在同一个椭圆上．

变式1：直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，则实数　　　　　 ．

解：将直线代入双曲线C的方程整理，得

　　　　　　　　　　 ……①

依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得．

设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得

　　　　　　　　　　　　　　 ……②

∵双曲线C的右焦点F 在以AB为直径的圆上，则由FA⊥FB得：

整理，得……③

把②式及代入③式化简，得

解得，故．

变式2(2002年广东卷)：A、B是双曲线上的两点，点N(1，2)是线段AB的中点．

(Ⅰ)求直线AB的方程；

(Ⅱ)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？ 　 　解：(Ⅰ)直线AB的方程为．(求解过程略)

(Ⅱ)联立方程组得、．

由CD垂直平分AB，得CD方程为．

代入双曲线方程整理，得．

记，以及CD的中点为，

则有从而．

∵．

∴．

又．

即A、B、C、D四点到点M的距离相等．

故A、B、C、D四点共圆．

变式3(2005年湖北卷)：设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

　 (Ⅰ)确定的取值范围，并求直线AB的方程；

(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

(Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为整理，得　 ①

设①的两个不同的根，

　 　②

是线段AB的中点，得

解得＝－1，代入②得，＞12，即的取值范围是(12，+).

于是，直线AB的方程为

解法2：设

依题意，

(Ⅱ)解法1：代入椭圆方程，整理得

　 　　　　　　　　　　　③

③的两根，

于是由弦长公式可得　 　④

将直线AB的方程　⑤

同理可得　 ⑥

假设在在＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为　 ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.

(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角

　 ⑧

由⑥式知，⑧式左边＝

由④和⑦知，⑧式右边＝

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆

解法2：由(Ⅱ)解法1及.

代入椭圆方程，整理得

　③　　　 解得.

将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得

　 ⑤　　 解得.

不妨设

∴

计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.

又点A与B关于CD对称，∴A、B、C、D四点共圆.

(注：也可用勾股定理证明AC⊥AD)