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    7.(人教A版选修2-1第67页例5)

       过抛物线焦点F的直线交抛物线于AB两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.

    变式(2001年全国卷):设抛物线()的焦点为 F,经过点 F的直线交抛物线于AB两点.点 C在抛物线的准线上,且BCX轴.证明直线AC经过原点O

    证明1:因为抛物线()的焦点为,所以经过点F的直线AB的方程可设为

       ,代人抛物线方程得

        

       若记,则是该方程的两个根,所以

    因为BCX轴,且点C在准线上,所以点C的坐标为

    故直线CO的斜率为

    也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O

    证明2:如图,记X轴与抛物线准线L的交点为E

    AADLD是垂足.则

       ADFEBC

    连结AC,与EF相交于点N,则

    根据抛物线的几何性质,|AF|=|AD|,|BF|=|BC|    ,

       即点NEF的中点,与抛物线的顶点O重合,所以直线AC经过原点O

  • 题目来源:08高考数学圆锥曲线与方程变式试题 命题人:广州市教育局教研室  曾辛金

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